Асимптотические методы и ультравторичное квантование Маслова в некоторых задачах квантовой статистики, страница 2

Çäåñü è íèæå âåðõíèé çíàêîòâå÷àåò ÷¼òíûì çíà÷åíèÿì k , íèæíèé íå÷¼òíûì.Âî âòîðîì ñëó÷àå, êîòîðûé ðåàëèçóåòñÿ ïðè a > 2, ñóùåñòâóþò äâàðàçíûõ àñèìïòîòè÷åñêè áëèçêèõ ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåér 1V2V1 T2a 2−1+O−, (2)±∓ (1 + 2n) T2E = N T1 +2a22Nìåæäó êîòîðûìè èìååòñÿ ñèììåòðèÿ.

Ïîñëåäíèå äâà ñîñòîÿíèÿ ìîæíîèíòåðïðåòèðîâàòü êàê àíàëîã âèõðåâûõ ðåøåíèé â òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè. Ñðåäíèå ÷èñëà ÷àñòèö â ýòîì ñëó÷àå çàâèñÿò òîëüêî îò âåëè÷èíû a = ± (V1 − V2 ) /T2 , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé êîìáèíàöèþ ïàðàìåòðîâ,âõîäÿùèõ â ãàìèëüòîíèàí.Âû÷èñëåíî çíà÷åíèå ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîãî ðàñùåïëåíèÿ ýíåðãèèâèõðåâûõ ðåøåíèé [1℄.  ðÿäå ñëó÷àåâ êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí, ñîîòâåòñòâóþùèé ðàññìàòðèâàåìîé íåîáû÷íîé êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìå,èìååò äâà âûðîæäåííûõ ìèíèìóìà. Âîëíîâûå óíêöèèψj (x) = ϕj (x)eN Kj (x)+iπkxN ,j = 1, 2,k ∈ Z,ñîñðåäîòî÷åííûå â îêðåñòíîñòÿõ ìèíèìóìîâ, ìîãóò òóííåëèðîâàòü äðóãâ äðóãà, ÷òî ïðèâîäèò ê ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîìó ðàñùåïëåíèþ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé.Ñëåäóÿ ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ïîëó÷åííûå àñèìïòîòè÷åñêè áëèçêèå èíñòàíòîííûå ðåøåíèÿ òóííåëèðóþò äðóã â äðóãà.

àçíîñòü ýíåðãèé ñèììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî ñîñòîÿíèé âû÷èñëåíà ñ ïîìîùüþ êâàçèêëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ Â.Ï. Ìàñëîâà è ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîå ðàñùåïëåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé:s√ 1 2Naa2 − 4 2′2N K1 (x̄)k+1ϕ1 (x̄)esh K1 (x̄) 1 + O,E+ −E− = (−1) T2πN8ãäå ϕ1 (x) ïðåäýêñïîíåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ, x̄ = 1/2, K1 (x̄) < 0.Âî âòîðîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâû ïðîâåäåíî ðàññìîòðåíèå ãàìèëüòîíèàíàMMXεX++bVij b̂+Tij b̂i b̂j +H=i b̂j b̂j b̂i2i,j=1i,j=1íà ïðîèçâîëüíîì êîíå÷íîì ÷èñëå M òî÷åê.

Ïîëó÷åíû àñèìïòîòè÷åñêèåóðàâíåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è âåêòîðîâ ãàìèëüòîíèàíà [4℄.Ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîå ðåøåíèå îáëàäàåò ýíåðãåòè÷åñêèìñïåêòðîì êâàçèêëàññè÷åñêîãî âèäàV1 + (M − 1) V2E = N T1 + (M − 1) T2 ++2Ms M−1X1 M 2 V1 − V21V1M (M − 1)(1 + 2mi )T2T2 −−+O−+,222T22Ni=1mi = 0, 1, 2, . . . , è ñóùåñòâóåò ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðûãàìèëüòîíèàíà:M2V1 − V2<.T22Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ýíåðãèè, íåðàâåíñòâî, îáåñïå÷èâàþùååóñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî ðåøåíèÿ, ñîâïàäàþò â ÷àñòíîì ñëó÷àå M = 2 ñ ðåçóëüòàòàìè ïåðâîãî ðàçäåëà. òðåòüåì ðàçäåëå èññëåäîâàí ìîäåëüíûé ãàìèëüòîíèàí âèäàGGGGGX XXJ X + +Xb = −Tb̂+b̂+b̂b̂b̂b̂−µb̂+Hjj jii ii b̂i ,G i=1Gj=1i=1j=1i=1ãäå µ õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë. Ñ èñïîëüçîâàíèåì àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ Â.Ï.

Ìàñëîâà íàéäåíû ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ñèñòåìû [3℄. Ïîñòðîåíîàñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñ ïîìîùüþ âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà Í.Í. Áîãîëþáîâà ïîëó÷åíà îöåíêà äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ãàìèëüòîíèàíà [2℄.Íàéäåíû çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ, ðåàëèçóþùèå ìèíèìóì ýíåðãèè, à òàêæå ñîîòíîøåíèÿ íà ïàðàìåòðû ãàìèëüòîíèàíà, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå ýòèõ ðåøåíèé. Ïîêàçàíà ýêâèâàëåíòíîñòü ðåçóëüòàòîâ.9ëàâà 2.

Óëüòðàâòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïåðâîì ðàçäåëå ìåòîäû óëüòðàâòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ è êîíöåïöèÿèñòèííîãî ñèìâîëà ïðèìåíåíû äëÿ ìîäåëè Áàðäèíà-Êóïåðà-Øðèåðà[5℄. àññìîòðåíû ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé àìèëüòîíà è ñèñòåìà óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ, ðåøåíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþò ñïåêòð âîçáóæäåíèé åðìèîííîé ñèñòåìû.Ïîêàçàíî, ÷òî ñïåêòð âîçáóæäåíèé, ïîëó÷åííûé ñ ïîìîùüþ ìåòîäà óëüòðàâòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ, ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì êîëëåêòèâíûõêîëåáàíèé Í.Í. Áîãîëþáîâà. Äëÿ óðàâíåíèé ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿÁÊØ-Áîãîëþáîâà ïðèâåäåíà ïàðà Ëàêñà.Ñëåäóþùèå äâà ðàçäåëà îòâåäåíû èññëåäîâàíèþ ìîäåëüíûõ ñèñòåìâçàèìîäåéñòâóþùèõ òîæäåñòâåííûõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö áîçîíîâ è åðìèîíîâ.

àññìîòðåí èñòèííûé ñèìâîëZZ +~2+H Φ (·), Φ(·) =dxdy Φ (x, y) −(∆x + ∆y ) Φ(x, y) +2mZZZZ+2Ndxdydx′ dy ′ V (x, y) Φ+ (x, y)Φ+ (x′ , y ′ )Φ(x, x′ )Φ(y ′ , y)óëüòðàâòîðè÷íî êâàíòîâàííîé çàäà÷è, îïðåäåëåííûé äëÿ ïàðû ñèììåòðè÷íûõ â ñëó÷àå áîçîíîâ è àíòèñèììåòðè÷íûõ â ñëó÷àå åðìèîíîâ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê àðãóìåíòîâ óíêöèé Φ+ (x, y), Φ(x, y), çàäàííûõíà L2 (T2 ). åøåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû óðàâíåíèé àìèëüòîíà äëÿêàæäîé èç ñòàòèñòèê.

Ïîëó÷åíû ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñåðèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì: 2 2~ (k1 + k22 ) v2k2 ± v0Ek1 ,k2 = N+,2m4ãäå k1 , k2 âîëíîâûå âåêòîðû âèäàn1 n2 n3, ,,2πL1 L2 L2n1 , n2 , n3 öåëûå ÷èñëà, vl îáðàç Ôóðüå ïîòåíöèàëà.10(3)Ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ:i(−k1 +k2 )x+i(−k1 +l)yi(−k1 +k2 )y+i(−k1 +l)x++±eδΦl (x, y) = u1,l ei(−k1 −k2 )x+i(−k1 +2k2 +l)yi(−k1 −k2 )y+i(−k1 +2k2 +l)x±e,+ u2,l eδΦl (x, y) = −v1,l ei(k1 +k2 )y+i(k1 +l)x ± ei(k1 +k2 )x+i(k1 +l)y −i(k1 −k2 )y+i(k1 +2k2 +l)xi(k1 −k2 )x+i(k1 +2k2 +l)y±e+− v2,l eXi(k1 +k2 +l−l′ )x+i(k1 +l′ )yi(k1 +k2 +l−l′ )y+i(k1 +l′ )x,−ewl,l′ e+l′ 6=l,l+2k2ãäå âîëíîâîé âåêòîð l 6= −k2 .Çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõñâåäåíà ê íàõîæäåíèþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé óðàâíåíèÿe = M X.λXÇäåñüX âåêòîð-ñòîëáåö âèäà~2eλ = λ + k1 (k2 + l),mM ìàòðèöàñ ýëåìåíòàìèu1,l u2,l X= v1,l  ,v2,lB1 VV10 V B20V2 M = M1 F −B1 −V F M2 −V −B2vl+k2 ± v2k2,2vl+k2 ± vl−k2V1 = −,2vl+k2 ± vl+3k2M1 = 2(vl−k2 ± v0 )ϕk2 ,l ,V2 = −,2M2 = 2(v0 ± vl+3k2 )ϕk2 ,l+2k2 , F = (v2k2 ± vl+k2 ) (ϕk2 ,l ± ϕk2 ,l+2k2 ) ,vl−k2,2vl+3k2,B2 = Bk2 ,l+2k2 +2B1 = Bk2 ,l +V =11ãäå ÷èñëà Bk2 ,l , ϕk2 ,l èìåþò âèä~2 2v2k(l − k22 ) + (vl−k2 ± vl+k2 )ϕk2 ,l − 2 ,2m22~ 2q(l − k22 ) − (v2k2 ± v0 )bl σlb2l − 1, bl ≡ m,=∓ ±22vl−k2 ± vl+k2Bk2 ,l =ϕk2 ,là k1 , k2 , l òð¼õìåðíûå âåêòîðû âèäà (3).

Êîýèöèåíòû σl â ñëó÷àåáîçîíîâ òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþò ñ åäèíèöåé, à â ñëó÷àå åðìèîíîâ îáëàäàþò ñâîéñòâàìè σ−l = −σl , |σl | = 1.Ïîëó÷åíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ:vquu2t ξk2 ,l + ξk2 ,l − 4ηk2 ,l~2λ1,k1 k2 ,l = − k1 (k2 + l) ±,m2vquu2t ξk2 ,l − ξk2 ,l − 4ηk2 ,l~2,λ2,k1 ,k2 ,l = − k1 (k2 + l) ±m2ãäå êîýèöèåíòû ξk2 ,l , ηk2 ,l îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè 2 2 ~22 222 2ξk2 ,l =+l1 − k2 + l − k22m 2~l12 (vl+3k2 − v2k2 ) + l2 (vl−k2 − v2k2 ) − k22 (vl−k2 + vl+3k2 − 2v2k2 ) −+2m− (v2k2 ± vl+k2 )(vl+3k2 + vl−k2 − 2v2k2 )/2, 2~2 ~2 2422 2222ηk2 ,l =2k2 − k2 l1 + l + l1 l − l1 + l − 2k2 (v2k2 ± vl+k2 ) ·2m2m ~2 2k24 − k22 l12 + l2 + l12 l2 +· 22m 2~+l12 (2vl−k2 ± vl+k2 − v2k2 ) + l2 (2vl+3k2 ± vl+k2 − v2k2 ) −2m− 2k22 (vl+3k2 + vl−k2 ± vl+k2 − v2k2 ) ++ 2(vl+3k2 − v2k2 )(vl−k2 − v2k2 ) + (v2k2 ± vl+k2 )(vl+3k2 + vl−k2 − 2v2k2 ) /4,l1 = l + 2k2 .12 ïðèâåä¼ííûõ ñîîòíîøåíèÿõ âåðõíèé çíàê ñîîòâåòñòâóåò ñòàòèñòèêåÁîçå-Ýéíøòåéíà, à íèæíèé Ôåðìè-Äèðàêà (êðîìå ïåðåìåííîãî çíàêà ïðè σl ).Îòìåòèì, ÷òî äëÿ áîçîíîâ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ1,k1 ,k2 ,l â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ïðè k2 → 0 ñîîòâåòñòâóåò çíàìåíèòîìó ñïåêòðó ñâåðõòåêó÷åñòè Í.Í.

Áîãîëþáîâà:s22~2 l 2~+ vl − vl2 .λ1,k1 ,l = − k1 l +m2mÏðèâåäåíà ýêâèâàëåíòíàÿ îðìà óðàâíåíèé àìèëüòîíà, êîòîðàÿïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ¾LA-ïàðó¿ è ïðåäñòàâèòü ñòàöèîíàðíûå óðàâíåíèÿ â âèäå ðàâåíñòâà íóëþ êîììóòàòîðà:b L]b − = 0.[A,bèLb èìåþò âèä:Ìàòðèöû A!αbebbeG±−RbT ±B ,b=b=, L2Aαb −TbbTb∓BR∓ −G2beb, Rb, Re y), êîòîðûå âûG îïåðàòîðû ñ ÿäðàìè G(x, y), R(x, y), R(x,bT òðàíñïîíèðîâàííûéðàæàþòñÿ ÷åðåç óíêöèè Φ(x, y), Φ+ (x, y), Gb çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:îïåðàòîð, à ÿäðà îïåðàòîðîâ ìàòðèöû LΩ~2∆x δ(x − y) − δ(x − y),T (x, y) = −2m2B(x, y) = V (x, y)R(x, y),e y) = V (x, y)R(x,e y),B(x,ãäå δ(·) äåëüòà-óíêöèÿ Äèðàêà, Ω äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Âåðõíèéçíàê îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ áîçå-÷àñòèö, íèæíèé ê ñëó÷àþ åðìè-÷àñòèö. ÷åòâ¼ðòîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíà ñèñòåìà âçàèìîäåéñòâóþùèõåðìèîíîâ íà òðåõìåðíîì òîðå T ñî ñòîðîíàìè L1 , L2 è L2 .

Çíà÷åíèåRèíòåãðàëà îò ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé V (r)drïîêàçûâàåò, êàêîé òèï âçàèìîäåéñòâèÿ â ñèñòåìå ïðåâàëèðóåò ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ. ðàáîòå àêàäåìèêà Í.Í. Áîãîëþáîâà áûëà ðàññìîòðåíà ñèñòåìà,îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîìñâåðõòåêó÷åñòè, â êîòîðîé â ñðåäíåì ïðåâàëèðóåòRîòòàëêèâàíèå V (r)dr > 0.13Ïðè ñáëèæåíèè ÷àñòèö â He3 è â He4 ïðîèñõîäèò îòòàëêèâàíèå, àïðè èõ îòäàëåíèè äðóã îò äðóãà ïðèòÿæåíèå.

Èññëåäîâàí àíòèñèììåòðè÷åñêèé ñëó÷àé, ñîîòâåòñòâóþùèé He3 , êîãäàZV (r)dr = 0,òî åñòü â ñðåäíåì ïðèòÿæåíèå êîìïåíñèðóåò îòòàëêèâàíèå.Ñëåäóÿ ñîîáðàæåíèÿì òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïðåäåëà â êà÷åñòâå òàêîãî ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèåV (x, y) = V0 ∆x δ(x − y),ãäå x, y ∈ T êîîðäèíàòû ÷àñòèö, δ(x − y) äåëüòà-óíêöèÿ Äèðàêà,∆x îïåðàòîð Ëàïëàñà, äåéñòâóþùèé ïî àðãóìåíòó x.Ñèñòåìà óðàâíåíèé àìèëüòîíà ïðåäñòàâëåíà â âèäå ðàâåíñòâà íóëþ êîììóòàòîðà äâóõ ìàòðèö[Al , Ll ]− = 0.Ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî Al îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé íå÷¼òíîé óíêöèåé f (·) è ïàðàìåòðàìè, ñâÿçàííûìèíåñêîëüêèìè óñëîâèÿìè.Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ èìååò ñëåäóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:V0 l2~2 l(l − 2k) ~2 k 2+−Ω−,2mmL1 L22V0 l2~2 l(l + 2k) ~2 k 2,−+Ω+=−2mmL1 L22λ1,k,l =λ2,k,lãäå l, k âîëíîâûå âåêòîðû, Ω äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè Ω = ~2 k 2 /mñïåêòð ñîîòâåòñòâóåò ðåçóëüòàòó ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ðàññìîòðåííîãî çäåñü ïîòåíöèàëà.ëàâà 3.