Асимптотические методы и ультравторичное квантование Маслова в некоторых задачах квантовой статистики

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÄÅÍÀ ËÅÍÈÍÀ, ÎÄÅÍÀ ÎÊÒßÁÜÑÊÎÉÅÂÎËÞÖÈÈ, ÎÄÅÍÀ ÒÓÄÎÂÎÎ ÊÀÑÍÎÎ ÇÍÀÌÅÍÈÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒ èì. Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèîëèêîâ Äìèòðèé Ñåðãååâè÷Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäûè óëüòðàâòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå Ìàñëîâàâ íåêîòîðûõ çàäà÷àõ êâàíòîâîé ñòàòèñòèêèÑïåöèàëüíîñòü: 01.04.02 òåîðåòè÷åñêàÿ èçèêàÀÂÒÎÅÔÅÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2008àáîòà âûïîëíåíà íà êàåäðå êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè è òåîðèè ïîëÿ èçè÷åñêîãî àêóëüòåòà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíèÌ.Â. Ëîìîíîñîâà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,àêàäåìèê Ìàñëîâ Âèêòîð Ïàâëîâè÷Îèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîåññîð Ìîëîòêîâ Èâàí Àíàòîëüåâè÷êàíäèäàò èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,äîöåíò Ñòîÿíîâñêèé Àëåêñàíäð Âàñèëüåâè÷Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Òîìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÇàùèòà ñîñòîèòñÿ ¾9¿ îêòÿáðÿ 2008 ã.

â÷àñîâ íà çàñåäàíèèäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.002.10 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991, Ìîñêâà,Ëåíèíñêèå ãîðû, äîì 1, ñòð. 2, Ôèçè÷åñêèé àêóëüòåò, àóäèòîðèÿ.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå èçè÷åñêîãî àêóëüòåòà ÌÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà.Àâòîðååðàò ðàçîñëàí ¾¿ ñåíòÿáðÿ 2008 ã.Ó÷åíûé ñåêðåòàðüÄèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.002.10äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîåññîðÞ.Â. ðàöÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìûÏîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî ïðîáëåì òåîðèè ìíîãèõ òåë, ïðåäñòàâëÿþùèõ èçè÷åñêèé èíòåðåñ, äîñòàòî÷íî ñëîæíû è, êàê ïðàâèëî, íå èìåþòòî÷íîãî ðåøåíèÿ.

Ïîýòîìó ñóùåñòâåííûé èíòåðåñ ïðèîáðåòàþò ìîäåëüíûå ñèñòåìû, äîïóñêàþùèå èõ ìàòåìàòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå. Íàñòîÿùàÿäèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñâîéñòâ ìîäåëüíûõ ñèñòåì áîëüøîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö.Âûáîð ãàìèëüòîíèàíîâ äëÿ êîíêðåòíûõ ñèñòåì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ïðåäñòàâëÿåò äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè âàæíóþ ïðîáëåìó. Ïðè ðàññìîòðåíèè êîíêðåòíûõ ðåàëüíûõ ñèñòåì ñ áîëüøèì (â ïðåäåëå áåñêîíå÷íûì) ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû íåâîçìîæíî ïðèíÿòü âîâíèìàíèå âñå áåç èñêëþ÷åíèÿ ñâîéñòâà òàêîé ñèñòåìû. Îñíîâíàÿ çàäà÷àñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ó÷åñòü ëèøü íàèáîëåå âàæíûå ñ òî÷êè çðåíèÿ èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ ÷åðòû ýòîé ñèñòåìû, ñîçíàòåëüíî ïðåíåáðåãàÿ îñòàëüíûìè.

Ïîäîáíîå óïðîùåíèå çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäåëüíûé ïîäõîä,à ñîîòâåòñòâóþùèå ãàìèëüòîíèàíû íîñÿò íàçâàíèå ìîäåëüíûõ. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî îðìóëèðîâêà ìîäåëüíûõ çàäà÷ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéâåñüìà ñëîæíóþ èçè÷åñêóþ è ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðîáëåìó. êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ òåîðèè ìíîãèõ ÷àñòèö àäåêâàòíîãî ñîîòâåòñòâèÿ ðåàëüíîé ñèñòåìû è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáû÷íî íå áûâàåòè ïðèõîäèòñÿ äîâîëüñòâîâàòüñÿ ìîäåëüþ, ñâîéñòâà êîòîðîé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîéñòâ ðåàëüíîé ñèñòåìû. Äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæ¼ííûìè ìåòîäàìè. Òåì íå ìåíåå, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòîò ïîäõîä äëÿ áîëüøèíñòâà çàäà÷ òåîðèè ìíîãèõ òåëÿâëÿåòñÿ ïî÷òè åäèíñòâåííûì.

Òàê îáñòîèò äåëî è äëÿ êâàíòîâûõ, è äëÿ÷èñòî êëàññè÷åñêèõ ñèñòåì.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñòðîãîå èññëåäîâàíèå çàäà÷è êàê ïðàâèëî ñòàëêèâàåòñÿ ñî ñëîæíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè. Ïîýòîìó òî÷íûåðåøåíèÿ ìîäåëüíûõ çàäà÷ äîñòàòî÷íî ðåäêè è îêàçûâàþò áîëüøîå âîçäåéñòâèå íà ðàçâèòèå ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè â öåëîì. Îäíîé èç âàæíåéøèõ ïðîáëåì ñòàòèñòè÷åñêîé èçèêè ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå òî÷íîðåøàåìûõ ñëó÷àåâ.

Òàêîå ðàññìîòðåíèå âíîñèò ñóùåñòâåííûé âêëàä âíàøå ïîíèìàíèå âåñüìà ñëîæíûõ çàäà÷ êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè è, â ÷àñòíîñòè, äëÿ îáîñíîâàíèÿ èñïîëüçóåìûõ ïðèáëèæ¼ííûõ ìåòîäîâ. ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿåò ñóùåñòâåííûé èíòåðåñ èçó÷åíèå òåõ2íåìíîãèõ ìîäåëåé, êîòîðûå èìåþò íåêîòîðîå ñõîäñòâî ñ ðåàëüíûìè èçè÷åñêèìè ñèñòåìàìè, íî äîïóñêàþò òî÷íîå ðåøåíèå. Ïðè ýòîì ìîãóòáûòü óñòàíîâëåíû îñíîâíûå îñîáåííîñòè ñèñòåì ìíîãèõ òåë. êà÷åñòâå ïðèìåðîâ òàêèõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîãóò áûòü ðåøåíûòî÷íî, ñëåäóåò ïðèâåñòè ñèñòåìû íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö.

Íåñìîòðÿ íà òðèâèàëüíîñòü òàêîé ìîäåëè, îíà èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå èñõîäíîé â áîëüøèíñòâå çàäà÷ òåîðèè ìíîãèõ òåë. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ðÿäòî÷íî ðåøàåìûõ íåèäåàëüíûõ ìîäåëåé: ðåçóëüòàòû Í.Í. Áîãîëþáîâà âìîäåëüíûõ çàäà÷àõ òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè è ñâåðõïðîâîäèìîñòè, Îíñàãåðà â ïëîñêîé ìîäåëè Èçèíãà, Áàêñòåðà â âîñüìèâåðøèííîé ìîäåëè.Ìîäåëüíûå ãàìèëüòîíèàíû øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ ïðè èçó÷åíèèðàçëè÷íûõ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêîé èçèêè.

Ïî ýòîé ïðè÷èíå èõ èññëåäîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ ðåøåíèåì çàäà÷è îäíîãî ãàìèëüòîíèàíà ðåøàåòñÿ öåëûé ðÿä ñîîòâåòñòâóþùèõ èçè÷åñêèõ ìîäåëåé. Íàïðèìåð, â ðàáîòàõ Â.Ï. Ìàñëîâà ïîäðîáíî ðàññìîòðåí âîïðîñ î ïîñòðîåíèèïðèáëèæ¼ííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ √√ − ∂Φ(t)+= H t, εψ̂ (x), εψ̂ (x) Φ(t),iε(1)∂tãäå Φ(t) âåêòîð ñîñòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ôîêà, ψ̂ ± (x) îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Ìåòîä êîìïëåêñíîãîðîñòêà Ìàñëîâà â ïðîñòðàíñòâå Ôîêà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ïðèáëèæ¼ííûå ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1), â ÷àñòíîñòè, ìíîãî÷àñòè÷íûõóðàâíåíèé Øðåäèíãåðà, Ëèóâèëëÿ, à òàêæå óðàâíåíèé êâàíòîâîé òåîðèèïîëÿ.Öåëü ðàáîòûÖåëüþ íàñòîÿùåé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèåñâîéñòâ ìîäåëüíûõ ñèñòåì áîëüøîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèöíà îñíîâå àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, ìåòîäà óëüòðàâòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ è êîíöåïöèè èñòèííîãî ñèìâîëà.

àññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è âåêòîðîâ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà è óðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè.3Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ äèññåðòàöèè èñïîëüçóþòñÿ ñòðîãèå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.Íàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòû ðàìêàõ äàííîé äèññåðòàöèè ïîëó÷åí ðÿä íîâûõ ðåçóëüòàòîâ.  ÷àñòíîñòè, âû÷èñëåíî çíà÷åíèå ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîãî ðàñùåïëåíèÿ ýíåðãèè âèõðåâûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ñèñòåìû íà ðåø¼òêå.Ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ðÿäàìîäåëüíûõ ñèñòåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì.Íàðÿäó ñ èçâåñòíûìè àñèìïòîòè÷åñêèìè ìåòîäàìè â ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ ñîâðåìåííûé ìåòîä óëüòðàâòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ, ââåä¼ííûé àêàäåìèêîì Â.Ï.

Ìàñëîâûì, à òàêæå êîíöåïöèÿ èñòèííîãî ñèìâîëà,ïîçâîëÿþùèå ïîëó÷èòü áîëåå îáùèå ðåçóëüòàòû, â ñðàâíåíèè ñ äîñòèãíóòûìè ðàíåå.Âïåðâûå ïîëó÷åíû òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ìîäåëüíûå ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, íàéäåíû ñïåêòðû êîëëåêòèâíûõ êîëåáàíèé êâàçè÷àñòèö.  ðÿäå ñëó÷àåâ äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéàìèëüòîíà ïîëó÷åíà ¾LA-ïàðà¿, ïîçâîëÿþùàÿ çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â âèäå îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè èññëåäîâàíèè óðàâíåíèÿ äëÿìàòðèöû ïëîòíîñòè â ïðåäñòàâëåíèè óëüòðàâòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ ïîïàðàì âïåðâûå íàéäåíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðà Ëàêñà.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü ðàáîòû äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ñîäåðæàòñÿ ðåçóëüòàòû, îáëàäàþùèå íåñîìíåííîé íàó÷íîé íîâèçíîé è èìåþùèå ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ ïîíèìàíèÿ èçèêè ñèñòåì áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö.

Ïðåäñòàâëåííûå â ðàáîòå òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ñïåöèàëèñòàìèâ îáëàñòè êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè, òåîðèè ñèñòåì ìíîãèõ ÷àñòèö, à òàêæåòåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè è ñâåðõïðîâîäèìîñòè.Ëè÷íûé âêëàä ñîèñêàòåëÿÀâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåäåíû èññëåäîâàíèÿ ðÿäà ìîäåëüíûõ ñèñòåì áîëüøîãî ÷èñëà òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö. Ïîëó÷åíû ðåøåíèÿ ñîîò4âåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, à òàêæå ñïåêòðû êîëëåêòèâíûõ êîëåáàíèé êâàçè÷àñòèö. Âïåðâûå íàéäåíî ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â âèäå ïàðû Ëàêñà ïðè óëüòðàâòîðè÷íîì êâàíòîâàíèè ïî ïàðàìóðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè.Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1.

Ïîñòðîåíà òóííåëüíàÿ àñèìïòîòèêà âîëíîâîé óíêöèè îñíîâíîãî èïåðâîãî âîçáóæä¼ííîãî ñîñòîÿíèé â ìîäåëè áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèöíà ðåø¼òêå. Ïîëó÷åí àíàëîã óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñâåðõòåêó÷åñòèâ ñèñòåìå áîçîíîâ ñ áèíàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Âû÷èñëåíî ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëîå ðàñùåïëåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé.2. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì íàïðîèçâîëüíîì êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ðåø¼òêè èìååò ìåñòî ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîå ðåøåíèå.

Ïîëó÷åí ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñèñòåìû.3. Äëÿ ìîäåëüíîãî ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ áîçîíîâ ïîñòðîåíà àñèìïòîòèêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.4.  ìîäåëè ñâåðõïðîâîäèìîñòè Áàðäèíà-Êóïåðà-Øðèåðà èç ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùåé èñòèííîìó ñèìâîëóäëÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ïîëó÷åí ñïåêòð êîëëåêòèâíûõ êîëåáàíèé.5. Èñõîäÿ èç êîíöåïöèè èñòèííîãî ñèìâîëà, äëÿ ìîäåëüíûõ êâàíòîâûõñèñòåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö áîçîíîâ è åðìèîíîâ âû÷èñëåíû ãëàâíûå ÷ëåíû àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñåðèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, à òàêæå ïîëó÷åíûíîâûå ñïåêòðû êîëëåêòèâíûõ êîëåáàíèé êâàçè÷àñòèö.6.

Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ N -÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â ñëó÷àååðìèîíîâ, âïåðâûå ïðåäñòàâëåíî ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ íå÷¼òíóþóíêöèþ. Äëÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òî÷íî âû÷èñëåí ñïåêòð ñèñòåìû óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ.57. Ïðîèçâåäåíî óëüòðàâòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå óðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Äîêàçàíî òîæäåñòâî äëÿ óëüòðàâòîðè÷íî êâàíòîâàííîãî ãàìèëüòîíèàíà, ïîçâîëÿþùåå îïðåäåëèòü èñòèííûé ñèìâîëóðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè.  ñëó÷àå êâàíòîâàíèÿ ïî ïàðàì ïîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìà îáëàäàåò ñïåêòðîì, ïîëó÷åííûì â ðàáîòåÂ.Ï. Ìàñëîâà ¾Î çàâèñèìîñòè êðèòåðèÿ ñâåðõòåêó÷åñòè îò ðàäèóñàêàïèëëÿðà¿.

Âïåðâûå ïîëó÷åíà ïàðà Ëàêñà äëÿ ñèìâîëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèþ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïðè óëüòðàâòîðè÷íîì êâàíòîâàíèè ïî ïàðàì.Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèèÌàòåðèàëû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü è îáñóæäàëèñü íà ñåìèíàðàõêàåäðû êâàíòîâîé ñòàòèñòèêè è òåîðèè ïîëÿ èçè÷åñêîãî àêóëüòåòàÌÓ, à òàêæå ïðåäñòàâëÿëèñü â íàó÷íûõ äîêëàäàõ íà ñëåäóþùèõ êîíåðåíöèÿõ:• Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ïî¾Ëîìîíîñîâ 2003¿. Ìîñêâà, 2003.óíäàìåíòàëüíûìíàóêàì• Âñåðîññèéñêàÿ êîíåðåíöèÿ ïî¾Ìîëîä¼æü â íàóêå¿.

Ñàðîâ, 2003.óíäàìåíòàëüíûìíàóêàì• Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ïî óíäàìåíòàëüíûì¾Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ 2004¿. Ìîñêâà, 2004.íàóêàì• Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ïî óíäàìåíòàëüíûì¾Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ 2005¿. Ìîñêâà, 2005.íàóêàìÏóáëèêàöèèÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè èçëîæåíû â 11 îïóáëèêîâàííûõ ðàáîòàõ, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðååðàòà.6Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òð¼õ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû, ñîäåðæàùåãî 78 íàèìåíîâàíèé. Îáúåì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò152 ñòðàíèöû.Ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèèîáîñíîâàíà àêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû,ñîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå öåëè, íàó÷íàÿ íîâèçíà è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü, ïåðå÷èñëåíû çàùèùàåìûå ïîëîæåíèÿ è êðàòêî èçëîæåíî ñîäåðæàíèå âñåõ ãëàâ äèññåðòàöèè.Âî ââåäåíèèëàâà 1. Ñèñòåìû áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö íà ðåø¼òêå ïåðâîì ðàçäåëå èññëåäîâàíà ìîäåëü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö íà ðåø¼òêå.

åøåíà çàäà÷à íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòèêè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âáëèçè âàêóóìíîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè N → ∞ (N ÷èñëî ÷àñòèö âñèñòåìå) äëÿ ãàìèëüòîíèàíàb=H2Xi,j=1Tij b̂+i b̂j2εX++Vij b̂+i b̂j b̂j b̂i .2 i,j=1Ïîñòðîåíà òóííåëüíàÿ àñèìïòîòèêà âîëíîâîé óíêöèè îñíîâíîãî è ïåðâîãî âîçáóæä¼ííîãî ñîñòîÿíèé è âûÿñíåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ [1℄. Ïàðàìåòðîì êâàçèêëàññè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ε = 1/N .àññìîòðåíà óíêöèÿ äåéñòâèÿ âèäàS(x) = K(x) + iπkx,ãäå i ìíèìàÿ åäèíèöà, k ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî (k ∈ Z), x = n/N îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî çàïîëíåíèÿ. ëàäêàÿ óíêöèÿ K(x) ïðåäñòàâëÿåòñîáîé äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü óíêöèè S(x). çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà k èìåþò ìåñòî äâå âåòâè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà: ðåøåíèÿ, îòâå÷àþùèå ÷¼òíûì çíà÷åíèÿìk , è ðåøåíèÿ, îòâå÷àþùèå íå÷¼òíûì k .àññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü äîïóñêàåò äîñòàòî÷íî òåñíóþ àíàëîãèþ ñòåîðèåé ñâåðõòåêó÷åñòè, êîòîðàÿ áûëà ïðåäëîæåíà Í.Í.

Áîãîëþáîâûì â71947 ãîäó. Èìåííî, ïîëó÷åí àíàëîã óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñâåðõòåêó÷åñòè â èññëåäóåìîé ìîäåëè áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö íà ðåø¼òêå. Ïðè ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèÿõ íà ïàðàìåòðû, àíàëîãè÷íûõ óñëîâèþ Áîãîëþáîâàâ òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè, ðåàëèçóþòñÿ äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ. ïåðâîì èç íèõ îñíîâíîå ñîñòîÿíèå, îáëàäàþùåå ýíåðãèåér aV1 + V21V1E = N T1 ± T 2 +∓ (1 + 2n) T2 1 − + O± T2 −,422Nãäå a = ± (V1 − V2 ) /T2 < 2, n = 0, 1, 2, . . . , ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíî èÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ñâåðõòåêó÷åãî ñîñòîÿíèÿ.