теория сопр (Шпоры)

1Растяжение и сжатиеNFN = F — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2,106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м2]LL — относительная деформация [безразмерная величина];L — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].— закон Гука —  = ЕEЕ — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа].

Для сталиЕ= 2105МПа = 2106 кг/см2 (в "старой" системе единиц).(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)N;EFL NL— закон ГукаE FEF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию —а.I a— относительная поперечная деформация.aI— коэффициент Пуассона [безразмерная величина]; лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали  0,250,3.Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:L LN( z) E  F( z) dz0P 2LP  LРабота при растяжении: A , потенциальная энергия: U  A 2 E F2Учет собственного веса стержняПродольная сила N(z) = P + FL;Р — сила, действующая на стержень,  — удельный вес, F — площадь сечения.Максимальное напряжение: maxP  L   L2P    L .

Деформация: L E F 2 EFУсловие прочности при растяжении (сжатии)max [],[] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).У чугуна [раст][сж], у стали и др. пластичных материалов [раст]=[сж].2Основные механические характеристики материалов (P)тBкп (L)диаграмма напряжений для хрупкихматериалов (например, чугун)диаграмма напряжений (растяжения)для пластичных материалов(например, малоуглеродистая сталь)п— предел пропорциональности, т— предел текучести, В— предел прочности или временноесопротивление, к— напряжение в момент разрыва.Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадкитекучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.Допускаемое напряжение [] o,n0— опасное напряжение, n — коэф.

запаса прочности. Дляпластичных материалов 0 = т и n = 1,5, хрупких 0 = В, n = 3.Линейное напряженное состояниенапряжения по наклонной площадке:pполное : p  P P cos     cos F Fнормальное:      cos  , касательное:2P  2 sin 2F — площадь наклонной площадки.Нормальные напряжения  положительны, если они растягивающие;касательные напряжения  положительны, если они стремятся повернутьрассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис.

всеположительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкамперпендикулярным к оси стержня (=0, cos=1, max= )На перпендикулярных площадках:  = — (90 — )    sin 2  ;     sin 2 , т.е.  = — .2Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющимугол 45о к оси стержня (=45о, sin2=1, max= /2)Напряженное и деформированное состояниеРазличают три вида напряженного состояния:1) линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;2) плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;3) объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимноперпендикулярным направлениям.Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные  икасательные  напряжения.

При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найтитакое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.3111Площадки, по которым не действуют касательныенапряжения, называются главными площадками, анормальные напряжения на этих площадках —главными напряжениями.Главные напряжения обозначают: 1, 2, 3 и1> 2> 32232231линейное1плоскоенапряженное состояние1объемноеПлоское напряженное состояниеzzРазрежем элементарный параллелепипед (рис.а)zzxнаклонным сечением. Изображаем только однуплоскость.Рассматриваемэлементарнуюxzxтреугольную призму (рис.б).

Положение наклоннойxxxxплощадки определяется углом . Если поворот от оси xzxzx против час.стр. (см. рис.б), то >0.Нормальныенапряженияимеютиндекс,zxzxzzсоответствующий оси их направления. Касательныенапряжения, обычно, имеют два индекса: первыйб)а)соответствует направлению нормали к площадке,второй — направлению самого напряжения (ксожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменениюзнаков в некоторых формулах).Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно,если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр(для касательного напряжения в некоторых учебниках и вузах принято обратное).Напряжения на наклонной площадке:    x cos 2    z sin 2    xz sin 2или    x  z x  zcos 2   xz sin 222x  zsin 2   xz cos 22Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное напряжение, то поперпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине ипротивоположное по знаку.

(xz= — zx)В теории напряженного состояния различают две основные задачи.Прямая задача. По известным главным напряжениям: 1= max, 2= min требуется определить дляплощадки, наклоненной под заданным углом () к главным площадкам, нормальные и касательныенапряжения:12   1 cos 2    2 sin 2 или     1   2 1   2cos 2 .221   2sin 22Для перпендикулярной площадки:21  1 sin 2    2 cos 2   1   2sin 2 .2Откуда видно, что +=1+2 — сумма нормальных напряжений подвум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) поотношению к наклону этих площадок.Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательныенапряжения имеют место при =45о, т.е.

по площадкам, наклоненным кглавным площадкам под углом 45о max 1   2.24Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям, действующим в двух взаимноперпендикулярных площадках, найти главные (max и min) напряжения и положение главных площадок.max zminzzx(касательные напряжения по главным площадкам равны 0).Угол0, определяющий положение главных площадок:maxtg2 0  xz0xxminD20C212x  z 1( x   z ) 2  4 2xz222 xz2 xzили tg 0  .x  z1   zЕсли одно из главных напряжений окажется отрицательным, то ихнадо обозначать 1, 3, если оба отрицательны, то 2, 3.Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек кругасоответствуют нормальным и касательным напряжениям наразличных площадках.

Откладываем от оси  из центра С луч подуглом 2 (>0, то против час.стр.), находим точку D,координаты которой: ,. Можно графически решать как прямую,так и обратную задачи.Объемное напряженное состояниеz1zНапряжения в любой площадке приизвестных главных напряжениях 1,zx zy2, 3:yzx;xyyxyxxz   1 cos 2 1   2 cos 2  2  3xzy   12 cos 2 1   22 cos 2  2  32 cos 2  3    ,где 1, 2, 3 — углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главныхнапряжений.Наибольшее касательное напряжение: max 1   3.2Оно действует по площадке параллельной главному напряжению 2 и наклоненной под углом 45о кглавным напряжениям 1 и 3.Круг Мора для объемного напряженного состояния.13=maxТочки, являющиеся вершинами кругов соответствуют диагональнымплощадкам, наклоненным под 45о к главным напряжениям:122303max  13 12 211   321   2,2 23  2  32(иногда называют главнымикасательными напряжениями).Плоское напряженное состояние — частный случай объемного и тожеможет быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно0.

Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует законпарности: составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам,перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.5Напряжения по октаэдрической площадке.Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всемглавным направлениям.IIIокт3B11окт2CI окт Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главныхнапряжений. окт A3IIилинапряжениепропорциональноИнтенсивность напряжений:i 1   2   3;3 окт 1(1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3  1 ) 232 2212   223  13,3геометрическойсуммеглавныхОктаэдрическоекасательноекасательныхнапряжений.32 окт (1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3  1 ) 2 .22x+y+z=1+2+3 — сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимноперпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная сумме главных напряжений (первыйинвариант).Деформации при объемном напряженном состоянии.Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):1,2,3 — относительные удлинения в главных направлениях (главные удлинения).

Если какие-либо изнапряжений i будут сжимающими, то их необходимо подставлять в формулы11  [1  (2  3 )]; со знаком минус.EОтносительная объемная деформация:1[2  (3  1 )];   V  1   2   3   1  2   (1   2   3 )EVE13  [3  (1  2 )]. Изменение объема не зависит от соотношения между главнымиEнапряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т.е.