теория сопр (928635), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

элементарный2 кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние1   2   3, тогда3напряжения:  ср  ср1 2E3 ср , где К=— модульEК3(1  2 )объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона = 0,5(например, резина) объем тела не меняется.Потенциальная энергия деформацииПри простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=P  L.2Удельная потенциальная энергия — количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема:Uu=;FL22u. В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три2Eглавных напряжения:u1  1  2   2  3   31 2[1   22   32  2(1 2  1 3   2  3 )]или u 2222EПолная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая издвух частей: 1) энергии uo, накапливаемой за счет изменения объема (т.е.

одинакового изменения всехразмеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии uф, связанной с изменением формы кубика(т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = uо + uф.uo 1  21  2(1   2   3 ) 2 ; uф [1   22   32  1 2  1 3   2  3 )]6E3E6 xTH   xy xz yxy yz zx  zy  — тензор напряжений (матрица третьего порядка). z При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:1 0TH   0  2 0000  . При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор 3 остается постоянным.

Три инварианта напряженного состояния:J1= x + y + z;J2= xy +yz + yz — 2xy — 2zx — 2yz;J3= xyz — x2yz — y2zx — z2xy + 2xyzxyz.1   2 1   2cos 222  2  1sin 22 Аналогичные зависимости возникают прирассмотрениидеформированногосостояниявточке.Сопоставлениезависимостейнапряженногоидеформированного плоского состояния(аналогия):1   2 1   2cos 222  1   2sin 222  — относительная деформация,  — угол сдвига.Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния.

Поэтому имеем инварианты деформированногосостояния:J1= x + y + z;J2= xy +yz + zx — x1J3    xy21  2 xz1 yx2y1 yz21 211 xy — 2yz — 2zx;4441 zx 21 zy  — тензор деформаций.2z x, y, z, xy, yz, zx — компоненты деформированного состояния. Теории прочностиВ общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от соотношения междутремя главными напряжениями (1,2,3).

Т.е., строго говоря, для каждого соотношения нужноэкспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были принятытакие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженногосостояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельныхнапряженных состояний).1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной наступления предельногонапряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения.max= 1 []. Главныйнедостаток: не учитываются два других главных напряжения. Подтверждается опытом только прирастяжении весьма хрупких материалов (стекло, гипс).

В настоящее время практически не применяется.2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной наступленияпредельного напряженного состояния являются наибольшие удлинения. max= 1 []. Учитывая, что1=1[1  ( 2   3 )],  — коэффициент Пуассона, получаем условие прочности эквII= 1 — (2 +E3) []. экв — эквивалентное (расчетное) напряжение.

В настоящее время теория используется редко,только для хрупких материалов (бетон, камень).73-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений): причиной наступления предельногонапряженного состояния являются наибольшие касательные напряжения max  [], max=1   3, условие2прочности: эквIII= 1 — 3 []. Основной недостаток – не учитывает влияние 2. При плоском( z   y ) 2  4 2zy  []. При y=0 получаем  эквIII   2  4 2  []напряженном состоянии: эквIII=Широко используется для пластичных материалов.4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного напряженногосостояния являются величина удельной потенциальной энергии изменения формы. uф[uф]. эквIV  0,5  [(1   2 ) 2  (1  3 ) 2  ( 2  3 ) 2  [] .Учитывает, все три главных напряжения.

При плоском напряженном состоянии: эквIV  (z  y2) 2  3(z  y2) 2  3 2zy  [] . При y=0,  эквIV   2  3 2  []Широко используется для пластичных материалов.Теория прочности Мора Получена на основе кругов напряжений Мора.  эквМ  1 [ p ][ c ] 3 .Используется при расчетах хрупких материалов, у которых допускаемые напряжения на растяжение [p] исжатие [с] не одинаковы (чугун).Для пластичных материалов [p]=[с] теория Мора превращается в 3-ю теорию.Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций 1, 2, 3, тензор деформаций принимает вид:1 0Tд   0  2 0 000  . Геометрические характеристики плоских сечений 3 Площадь: F   dF , dF — элементарная площадка.FСтатический момент элемента площади dF относительно оси0x — произведение элемента площади на расстояние "y" от оси0x: dSx = ydFyxdFПросуммировав (проинтегрировав) такие произведения по всейплощади фигуры, получаем статические моментыxCC0yCyS x   ydF ; S y   xdF [см3, м3, т.д.].относительно осей y и x:FxxC Координаты центра тяжести:SyFF; yC Sx.

Статические моментыFотносительно центральных осей (осей, проходящих через центр тяжести сечения) равны нулю. Привычислении статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, с известнымиплощадями Fi и координатами центров тяжести xi, yi.Статический момент площади всей фигуры = суммеnnстатических моментов каждой ее части: S x   Fi y i ; S y   Fi x i .i 1i 1nКоординаты центра тяжести сложной фигуры: x C SyF Fi x ii 1n Fii 1n; yC SxF Fi y ii 1n Fii 18Моменты инерции сеченияОсевой (экваториальный) момент инерции сечения — сумма произведенийэлементарных площадок dF на квадраты их расстояний до оси.yxJ x   y 2 dF ; J y   x 2 dF [см4, м4, т.д.].dFFFyFПолярный момент инерции сечения относительно некоторойточки (полюса) — сумма произведений элементарных площадок0x2на квадраты их расстояний от этой точки.

J p    dF ; [см4, м4,Fт.д.]. Jy + Jx = Jp .Центробежный момент инерции сечения — сумма произведений элементарных площадок на их расстоянияот двух взаимно перпендикулярных осей. J xy   xydF .FЦентробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осямисимметрии, равен нулю.Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут бытьположительными, отрицательными или равными нулю.Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.Моменты инерции сечений простой формыПрямоугольное сечениеyy1J x1 hСКруг3y32bhhbb h; J y1 ; J x1y1 334r 4 d 4Jp 232r 4 d 4Jx  Jy 464J xy  02Сxxx1Jx bh 3hb 3; Jy ; J xy  01212dbydвСdнКольцоxd 4HJp (1  c 4 )32d 4HJx  Jy (1  c 4 )64dJ xy  0; c  BdHy2/3hhxСx1bТреугольникравнобедренныйx0bh 3hb 3Jx ; Jy ; J xy  03648bh 3J x1 12ПрямоугольныйтреугольникЧетверть кругаJy=Jx=0,055R4Jxy=0,0165R4yy0yxСbh 3hb 3b2h 2Jx ; Jy ; J xy  ;363672J xy  0, если гипотенуза " убывает"0,424R2/3hhxСx1bна рис.

(-).J x1 bh 3129на рис. (—)Jx0=0,0714R4Jy0=0,0384R4ПолукругyJ x  0,11  R 4 ;Сx0,424Rx1J y  J x1R 4;8Моменты инерции стандартных профилей находятся изтаблиц сортамента:Двутавр ШвеллерУголокyyyJ xy  0Моментыинерции относительно параллельных осей:Jx1=Jx + a2F;y1yJy1=Jy + b2F;x0y0CbC xxJ x 0 о J y 0=—45xz0 2JCxy sin 2z0моментинерцииотносительно любой оси равенмоменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюсxСпроизведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Jy1x1=Jyx +aabF; ("a" и "b" подставляют в формулу с учетом их знака).x1Зависимость между моментами инерции при поворотеyy1осей:22Jx1=Jxcos  + Jysin  —Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2;x11Jx1y1= (Jx — Jy)sin2 +2 xСJxycos2 ;aУгол>0, еслипереход от старой системы координат к новой происходитпротив час.стр.Jy1 +Jx1= Jy + JxЭкстремальные(максимальное и минимальное) значения моментовинерции называются главными моментами инерции.

Оси, относительно которых осевые моменты инерцииимеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимноперпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные осиинерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадаетили обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей:tg 2 0 2  J xyJy  Jx, если 0>0  оси поворачиваются против час.стр.

Ось максимума всегда составляетменьший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси,проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. Моменты инерцииотносительно этих осей: J max minJx  Jy21(J x  J y ) 2  4  J 2xy2Jmax + Jmin= Jx + Jy. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:Jx1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jy1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jx1y1=yx1ix1(Jmax — Jmin)sin2;2Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения являетсяопределение главных центральных моментов инерции и положения главныхцентральных осей инерции.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)