Автореферат (Излучение мощных электронных потоков в резонансных периодических электродинамических системах), страница 3

Вектора x s и x s+1представляют собой совокупности коэффициентов, определяющих поля навходе и выходе s-го выделенного объема (волнового трансформатора).Преобразование полей на последовательности S волноводныхтрансформаторов описывается с помощью матрицы передачи всей системыG:G=S∏Gs(6)s =1и соотношенияrr(7)x S = Gx1Такой подход удобен тем, что с помощью матриц трансформацииможно описать свойства как резонаторов, так и волноводов, тем самым с12единой точки зрения можно рассматривать волновые и колебательныеявления в приборах СВЧ.В том случае, когда через объем Vs проходит электронный поток, связьrrмежду векторами x s и x s+1 усложняется и в общем случае не описываетсясистемой алгебраических уравнений. Матричное описание сохраняется, еслипоток рассматривается в линейном приближении в виде нормальных волн.Постоянные распространения и структуры собственных волн«связанной» периодической системы определяются из решения задачи насобственные вектора и собственные значения матрицы отдельного s-гопериода системы с потоком Gs(8)Gs ⋅ Ε = Λ ⋅ E ,E = {E1 , E 2 ,.....E 2 N + 2 } - матрица, составленная из собственных векторовматрицы Gs, Λ - диагональная матрица, элементами которой являютсясобственные значения Gs, λ j = exp( α j + i ⋅ ϕ j ) , здесь α j - постояннаянарастания (затухания), ϕ j - фазовый сдвиг j-й волны на период системы,который определяет постоянную распространения β j =ϕjd, d- периодсистемы.В п.2.2 записаны основные уравнения теории одномодовоговзаимодействия потока и поля.

В п.2.2.1 рассматривается описание вихревыхполей переменной структуры с помощью эквивалентных схем. П.2.2.2посвящен построению теории в малосигнальном приближении. При учетепродольного и поперечного взаимодействия потока и поля записываетсядисперсионное уравнение структуры с потоком в алгебраическом виде,выводятся аналитические выражения для компонент собственных волнсистемы. Показаны особенности постановки задачи для определениявзаимодействия в системе конечной длины. Для анализа самовозбуждениясистемы записывается характеристическое уравнение, которое можнорассматривать как уравнение относительно комплексной частотыω) = Re ω + i Im ω .

В этом случае величина Imω определяет инкрементнарастания колебаний в системе. Особенности анализа нелинейныхнестационарных процессов при использовании эквивалентных схемрассмотрены в п.2.2.3. Используется приближение медленного измененияамплитуд во времени, дифференциальные уравнения возбуждениязаменяются их разностным аналогом. При интегрировании используетсянеявная двухслойная схема с опережением. Электронный поток в рамкахданной методики описывается с помощью модели крупных частиц.

Силамипространственного заряда пренебрегается.В п.2.3 записываются уравнения матричного многомодового методаанализа взаимодействия электронного потока и поля сверхразмерногопериодического волновода в малосигнальном приближении. Метод основан13на уравнениях, записанных в п.2.1. В п.2.3.1 описываются особенностипостановки задачи, в п.2.3.2 записаны основные уравнения возбуждениявихревого поля периодического сверхразмерного волновода, определяетсяматрица передачи отдельного периода системы Gs. Особенности учетаграничных условий в сечениях входа и выхода и определение структурыполей в односекционных и многосекционных устройствах рассматривается вп.2.3.3. Для этого в системах конечной длины записываются условиятрансформации волн друг в друга на входе и выходе структуры.

Элементыматриц трансформации волн на входе D и выходе F могут быть определеныдля заданной геометрии системы из общей постановки задачи без учетавлияния потока. В рамках предложенной методики используетсяприближение идеального "холодного" согласования, при котором на концахсистемы волна каждой моды гладкого волновода в отсутствии пучка неотражается и не трансформируется в другие моды. Такая ситуациясоответствует условиям эксперимента, когда используются специальныесогласующие рупоры.

Можно также считать, что отрезок периодическоговолновода на входе и выходе соединен с полубесконечными гладкимиволноводами.Полная система уравнений, позволяющая анализировать возбуждениеполей в секции периодического волновода имеет вид:rr⎧GsS X 0 = X Sr⎪r(9)⎨ D ⋅ X 0 = Q,rr⎪ F ⋅ X = P,S⎩rгде S- число периодов, X 0 - вектор, состоящий из амплитуд волн потока иrrполя на входе, X S - вектор на выходе системы, Q вектор размерностью N+2,элементами которого являются амплитуды падающихволн (N - волн вrструктуре и две волны в потоке). Вектор P определяется амплитудамиобратных волн на выходе секции (в случае односекционной системы нулевой вектор) и включает в себя N элементов.

D и F матрицытрансформации полей на входе и выходе системы с размерностьюсоответственно Nx(2N+2) и NxN, K - число периодов в системе, N - числорассматриваемых мод гладких волноводов сравнения.В случае достаточно длинных систем (S>10) из-за экспоненциальнонарастающих членов матрицы Gs, соответствующих запредельным модамгладких волноводов сравнения, возникают трудности при прямом решениисистемы линейных алгебраических уравнений (9).

Для решения этой системыбыл разработан специальный метод, основанный на преобразованииrrсоотношений (9) путем разложения векторов X 0 и X S по базисусобственных векторов матрицы Gs (модам периодического волновода, сэлектронным пучком)14rr(10)X0 = E ⋅ξrrи дальнейшей замене переменных в соответствии с уравнением ξ = Zϑ , гдеZ- диагональная матрица,⎧1, λ m ≤ 1,⎪(11)Z mm = ⎨ 1λ1,>,m⎪λ k⎩ MПолученная в результате замены переменных система уравненийrразрешима относительнои не содержит членов, нарастающих с ростом K.ϑrПосле определения ϑ осуществляется обратный переход и определяютсянеизвестные амплитуды волн в системе.Для нахождения полей в многосекционных устройствах, основанных навзаимодействии релятивистского электронного потока с полямисверхразмерных волноводов, используется метод последовательныхприближений, аналогичный методу многократного рассеяния [12*] ииспользующий линейность уравнений теории.Результаты анализа точности и сходимости решения приводятся вп.2.3.4.

Анализ точности и сходимости решения проводился при определениидисперсионных характеристик и структуры нормальных волн. Дляисследования сходимости решения дисперсионного уравнения к точномупри увеличении числа мод N в разложении (1) рассматривалось семействопериодических волноводов с фиксированной формой поверхности (периодd=1,5 см, высота прямоугольной неоднородности h=3 мм, ширина выступаb=0,5 см) различающиеся значением диаметра волновода D в =8.0, 14.0 и 36.0см. Соотношение диаметра волновода Dв/λπ (λ π - длина волны,соответствующая "π" -виду колебаний) составляет соответственно ~2,5, ~5,~12.

Такие пространственно - развитые замедляющие системы характерныдля многоволновых черенковских генераторов [6*]. Анализ дисперсионныххарактеристик показал, что для всех рассмотренных случаев для обеспеченияточности ~0.1% необходимо учитывать ~10 запредельных мод. Длядостижения достаточной точности при определении структуры полянеобходимо учитывать ~15 запредельных мод.

Для волноводов с плавноменяющейся формой неоднородности проводилось сравнение с данными,опубликованными в литературе.В п.2.4. записаны уравнения многомодового метода анализанестационарных процессов в генераторах на сверхразмерных периодическихволноводах. Методика анализа нестационарных процессов строится всоответствии с принципами, заложенными в п.2.1. В п.2.4.1 записываетсясистема матричных уравнений возбуждения полей нерегулярного волноводарелятивистским электронным потоком. Для этого используются разностныеаналоги уравнений возбуждения (3) для трех соседних регулярных участков(с номерами s-1,s,s+1). Эти уравнения дополняются условиями сшивания15полей (4) на стыках участков s-1,s и s,s+1.

При этом на каждом временномшаге считаются известными амплитуды прямых и обратных волн, а также ихr±r ± dx s. Далее из полученной системы десятипроизводные по координате x s ,dzrdx̂ s±−1,s ,s +1матричных уравнений исключаются девять неизвестных векторов:dzr−и x̂s −1,s ,s +1 . Оставшееся одно матричное уравнение записывается длянеизвестных в данный момент времени амплитуд прямых волн:rrrrA1,s x̂s+−1 + A2 ,s x̂s+ + A3,s x̂s++1 = Bs(12)Уравнения возбуждения (12) для внутренних выделенных участковнерегулярного волновода дополняются условиями на входе и выходесистемы (граничными условиями).