26 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

11айти сумму ряда "=' и — и — 2 11роизведем эквивалентные преобразования ряда: 2 '1'ак как и -и-2 = (и-2)!и+1), то получаем, что исходный ряд мы можсм переписать в следующем виде: !8 !! ""и' — и-2 ""'(и 1)1и — 2) !и+! и — 2 1 1 1 1 - 1 1 1 — — — !8- ! — — -)= 3 и — 2 и+11' "" 3 и — 2 п+1 1 1 .:- 1 «1 —.б~' < — — — -)=б!, '', "=* п — 2 и+1 ""'и — 2 ""'п~! 1 Рассмотрим ряп ~ "'и — 2 11роизведсж,замену ~и-2 = Е), инда суммирование будет 1 1 производиться от Е -'= и-2 -- (и=3 ! = 3 — 2 =!., н — — .-- — .

и — 2 ! Дозтетаиим полученные значения в ряд~> " 'и — 2 1,: 1 11ропзведсм аналогичные преобразования и с рядом Х„., 1 - . !'огда для него замена (и+1=!с(: " 'л-;1 1 начальное ь =- п+1 =,' и =3 (::- 3+1=4, а и+! 1 Подставим данные в,Г '=' и+! Хп-.з ! Х~=.

! Итак, мы получили, что исходный ряд равен разности двух рядов: ,'Г', --= У' у 18 ~-. 1 ту 1 -- =6(У вЂ” -У' "'и — и — 2 1 ! 1 ° . 1 11 =6((1+- .- 1-Х 1-,У...-) =-6 — =11 !8 Ответ: ~~ь, .; — - — — =11 " 'и — и-2 Задача 2 Исследовать ряд на сходимосттс 2+ соя п (и — 1)' 2+ сояп Обозначим а„= (и' -1)' Для всех и верно следулокдсе утверхклеии: а„» —, .

- —,так как2+соьп >1 для всех и. 1 1 1 (и" — и)" (и ) и 1 Ряд у — является расходяшимся по признаку ~ ='п %-Ж 1 сравнения: (говоряшему, что ряд вида т — сходится а=! только прн условии, что а строко больше 1, т.е. а>1 и 1 расходится в ккроткквном слу кае, при а < 1) ряд ~ ' П расходится, так как ~а(зукпается условие схолимости. 2+ сояп Поотому и исходный ряд з — ' ... также расходится, ~,1м ( .~ 1)~ 4 1 так как.'сто сумма заведомо больше суммы ряда ~ "1и Оувст; ряд 2 1засходится. 2 ь сояп "'-'(и" — 1)' " За га га 3 ИсследОва1ь )эяд на сходимосгь: Зт7п „.,5' ~-и Обозначим а„= 3+ 7п 5" +и !Оп !Оп 10 2" 2 „ а„« — - — -- <-- — ". =-10(-)" 5" ~ и 5' 5" 5 Х' =;" 2 1--)" есэь сумма бесконечной убывающей э еоме э ри чес кой прогрессии.

Сумма бесконечной тбьэваэошей геометрической Ь, = — ' —, а в данном 1 — ц прогрессии !ээ!вна э (1э,с)") — !! о !<)э 2,, 2.'5 3 слячас'.- э ( ) ''5 1 — 275 2 <'-: ° 3 э 7п ' .Тогда исходный ряд э — — - тоже сходится. — '3 7П Отээеп ряд,э — — сходится. Фэ Докажем сходимость ряда 10~ ( )" . Тогда из его %-~Ю 2 ""' 5 сходимосэи будет следовать сходимость исходного ряда, так как согда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (вес члены ряда неотрицательны).

Зада ьа 4 Исследовать ряд на сходимость: 2п! /2" +3 2п! Обозначим а„=...- Д:,'3 2п! 2п! !.2 3 4" п аг ~2" +3 2"" 2.2 2.2" 2 Рял расходится, так как нарушается необходимое условие сходимости ряда: а„должно стремится к нулю при и — + ~ . 2п! Ответ: ~~ —,... расходится. .=~ ъ'2" +3 )адана 5 Исследова ~ ь ряд иа сходимос гь: и"' ... (2п ь1)"' Воспользуемся признаком Коши: Если 1пп" Ь~ <1, зо ряд ~~~ а„- сходится. \ Если )пп а„> 1, то ряд З а„- расходится. пФп 1 )цпп)а — 11пз — к 1 1зп +1)" Д Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся. Ответ: З - — ", —;-; сходится.

„).(2п' -1)'"' .'1адача 6 11сслсдоваз ь рял иа сходимостьч п , . (и ' + 5) !п л Воспользуемся предсльнмм признаком сходнмости. 1:ели два ряда ) а„и ~ 6„удовлетворяют условикк ю-~ д„ 1(п> —" = Л, где Л вЂ” конечное число, не равное О, то ряды Ь„ а и > Ь, сходятся иля расходятся одновременно.

и лч 1'ассмотрим следук>щий ряд: а 1пп —" =1 —. ~то конечное число, не равное О (>, Значит, ряды ~ а„и ~ (> „сходятся или расходятся одновременно. 'Для исследования сходимости второго ряда воспользуемся :-ЮЙтсгральнмм п1>нзнаком сходимости рядов. Если некоторая функция ((х) удовлетворяет условию )'(и) =- Ь„, то если ~('(х)с1х сходится, то и ряд 2 1 сходится, а если ~('(х)с(х расходится„то и ряд ~~ Ь„ 2 расходится. Рассмотрим следуюшую функцию: 1 !'(х) =: —— х1пх Если ~Г(х)дх сходится, та и ряд,"» Ь„сходится, если О 2 интеграл расходится, то и ряд «» Ь„расходится.

дх 'гд1п х — — — = ! — = 1п'!пх:; ~ =со „х!пх .. 1пх Интеграл расходится, значит и ряд «» Ь, расходится. Из д~ Э этого следует, что исходный ряд тоже расходится. и Ответ: ~ —; — - — — расходится. „,(и +5)!пп З!!»»и !а 7 1)сс!!е»»опять ряд нв сходимость< ~~! ( - 1) '!п 2п % . ) Л рассмотрим ряд 2 я!п"— 2п и л . к Так как О « — —, то в|п--- > О 2п 2 2п Воспользуемся признаком Коши: Если 1пп " 'а„< 1, то ряд ) а, - сходится. Если 1!»и!1)а, >1,то ряд ~а„- расходится.

п Найдем 1ип ",'а„: к 1!»и."„~а „вЂ” - 1»!ъз!и' ' - = О <1 2п %, л Значи»,- рял ~ я!и' — сходится, а следовательно ряд 2п Х 6 т,— 1) а»п ' — сходится, причем абсолютно. ~'-3 "' и з и О!всг: ряд ~1-1)' а1п" -- схолнтся. 2п Запинка 8 Вычисли гь сумму ряда с точностью се (-1)' — — (х = 0,001 „, (и 1)" Обозначим и-ный член ряда, как а„: Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и мо!ихтонно убыва!от. Тогда нам требуется найти сумму ряда до )Ч-го члена, где )ч' таково„что для любых п>гя выполняется неравенство !а„,'.йс Найдем )х): !а,~ =0,5 > а ~а,~ = 0,1 1 1 1 > а 1а,!= 0,015б > гх ~~а,1=- 0,0016"» и !а.,! = 0,00013 < а -о Я =5 Найдем сумму ряда до 5-! о члена: ,х а, = -0,403 Отвег: х — - - - — - — 0,403 л 0,001 ( — 1)" (и -'!)' За!сача 9 Нг!Йти Ооласть схолнмос'и! ряда.

й' Х (3 1)'4 в-"! 1 Обозначим а„=-(3+ — )" 4 ", а искомую область п сходимости ряда — Х, 1 Прн п -+ со: (1+ — )" = (1г = Зп) =- (1 + - -) ' -+ с Зп Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю а„при стремлении и к бесконечности: 1 „— „1 а,, = (3-' — )" 4 " = ((1 ч - )"')"'.3" .4 " -+ с"е ' Устремим а„к бесконечное ги: ! с' 3'4 ' =е '(3 4 ')' >О=Ф Исходя 'нз этого„найдем область схолимосзи: п 11рн л -> ьс: ( — — — > ао) сэ (х» 0) х , .

)'(случаем, что область схолнмости Х = 1х» О) О!лег: облг!сзь схолимости Х = (х =» 01. Задана 10 Най ги Ооласть сходимости ряда: ('-!)" ~> " ----- — — --(х+ 2)' "" (4п — !)2" Приведем этот ряд к степенному: 4 ,У (х+2)" =,),а„(х+2)", " '(4п — 1)2' (-1)' Где а„= (4п — 1)2" Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применснии признака Коши: 1 . 11(4п — 1)2" ! К =:1пп —,.—., = !1тп:!' — - — —; = 2 ' " .фа„~ ™ '11 ( — 1)' '1'аким образом, интервал сходимости ряда буде г выглядеть следукэптнм образом: -- 2 «х ~ 2 '< 2 .=> х н (-4;О) Отвез; область сходимости Х = (х е (-4;0)) Задача 11 Найти Ооласт!» скопи»»»ости ряда 1 =1!о х)' " 'п3' ' Приведем этот ряд к стеленному, т.е, к виду; Ъ, а,,.т~ „ з-а» где а, не зависит от х и является постоянной величиной, 1 Положим а„=- — —,,;, тонна исхолиь~Й рял ь~ожно п ' переписать в виде: 1 ,—,—,—,~!~х)" = У,а„(!ох)" и Теперь нам требуется найти 1йп "~', а, ! =- 1: Н вЂ” — 1 ..

1 1 1 1 1ип '/', а „1 = 1пп», ', — —, ! =- 1пп — =- —. " "1 п3" " '-'-3 ~/и' ь'3 11пз" (!/и) Воспользуемся следующим равенством 11п! "ча1С+ Ь'=1 . где а и 1~ постоянные числа, а>О. — ! !пп ",/!»з» ! =- 1" Рахим образом, по теореме Коп1и-Адамара. облас гь 1 схолимости Х = (! 1фх ~~ 1. Решим неравенство, чтобы в явном виде записать область сходиыости: 1~ух <Д, $ях.'« ~~3 =.~ ~ ~фх > — Д и х е ~ — --+ яп,+ — + хп),п е Х 3 3 Ответ: область сходимости Х = ~-.

— + яп,+ — + ьтп), и с-: тч . 3 3 Найти сумму ряда: 1 2 Оп + 1 х4 Произведем ~амену переменной: 1, 1 . 1,.„! ". 1 А!.у)=) — у =-К вЂ” -у' =-Х ~=о +! °, к=о~ +! 1 Найдем сумму ряда ~~ — у 1!~ Рассмотрим ироизводную ~~ -- у !Сумма убывающей геометрической иро~ рессии) Произйедем обратные преобразования для нахождения т - 1 суймй ряда 7 — у, то есть возьмем интеграл: 1 — — оу = — 1п!1 — у) ~-С 1! — у) Чтобы найти константу С„найдем знансннс ряда в некоторой фиксированной го ~ке у, возьмем у =- О, тонна: - о'=о= ! (1--о) сзхс —..о Е-~ й 1 2 Гак им образом, сумма ряда ~~) — ( — „)" есть "' и+! х' х' .