24 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Зада а 1 Найти сумму ряда 54 У',—;- — -- —— п -'и— Произведем зквивалентпыс преобразования ряда: '(ак как и'-и-2 = (п-'2)(п-! !, то получаем„что исходный ряд ряд мы можем переписать в следукпдем виде: 1=3 2 + 2 ю-3( 1)( +2) ( 1 + 1 1 1 ! -: 1 1 1 = — ( — — =)~ =,),54 — (- — — — -) = 3 и — 1 и+2~ "' 3 п — 1 и+2 1 1 -. 1 ..

1 =- 18,')" (- — — — ) =(й(,'> ',- — —,">,— -) " ' и — ! п+2 ' "'п — 1 мопз2 1 Рас~мо~рнм ряд "зп — 1 Произведем замену (и-1 = Ц, тогда суммирование будет 1 1 производиться от !. = и-1 = (и- 3) —" 3 — 1 =-2. а -- — = — .

и — 1 !с с: 1 '1 1одставим полученные значения и ряд 7 "'-' и — 1 1 -': 1 ""и-1 11роизвсдем пнаяояиниые преобразования и с рядом Х,, 1 — 1ояда дяя несо замена ~~и+2=1с~: "-'и-:2 иачаляиое 1: и '-2 =- ', и =3 1 = 3 ' 2=5, а п-,2 и с 1 Подставим данные в ~ ""и+2 1 - 1 Итак, мы иолу ~иди, нто исходный ряд равен разности двух рядов: — Ъ" 54 ~ 1 ~. 1 — =18~Ъ,--~" -3= "=' и' — и — 2 ~' -" )с ~'=' 1с 1 1 1 Ъ' 1 ~- 1 13 39 .=ЫК вЂ” +-. — -:У"' — )-~" --) =18 — =— й:.~ 1, .~ гв-.5 1„ 54 39 Ответ: ~~~ ; """и'+и — 2 2 Зад]ача " Исследовги ь ряд па сходимосггс 2- сояп (1зз — )' " 2 — соя п Обозначим п„=- — —, (и — п)' ' Д.гя всех и верно следукзшес утвержсдени: 1 1 1 а]]>, — - >.— г- =- -., так как2 — сояп ~!для Всех п.

(п -п)' (п ) '' п 1 Ряд у — является расходящимся !]=]!1 по признаку ! сравнения: (говорящему, что ряд вида ~ — -сходится " 'п" только при условии, что а строго больше 1] г.е. а>1 и 1 расходится в противном случае, при а<1) ряд~ "]п расходится, так как нарушается условие сходимости. 11оэтоы> и исходный 2 — соя п " Ответ: ряд 2 '' — —.. расходится. "-'(и -и) расходи"гся, так как его 1 ряда '"~. и — 2 — сони ряд ~ ' — — ' — — также "='(и — и) сумма заведомо больше суммы 1а,эа !!! ) Иссле н!вать ряд на сходимост1с 2п +! и !и+1)' 2п~-! Обозначим а„-. ьш п-'(и+1) 2и+ 1 2п+1 Прн и-+ аз з!п1 —,—,) = и'!и+1)' и1!п+1) Отек!да получаем, что сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда: 2п+ 1: 4п, 4 ;).;:,—:== Х;;.—.=Х,—; "=' п (и+1) " ' и ' ' и' 1 Докажем сходимость ряда 4 7 —, .

Тогда из его сходимостн будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху н нулем снизу (все члены ряда неотрицательны). 1 Обозначим Ь„-.= — „-. По признаку сравнения!говорящему, и 1 что ряд вида э — сходится только нри условии.

что а "-' 1' строго 'больше 1, т.с. а>1 н расходится в противном случае, 1 арн' а<1), ряд Э вЂ” —, сходится, так как выполняется г=! условие сходимос!н: 3- 1. 2п+1 Поэтому н исходный ряд ~ з!п- —, — — —, тоже сходи !ся. п2(п+1)' 2п'-1 Отвст: рял ~ БИ1 — —, — - — — „сходится. п'(и 11) Задача 4 1!сс седовата ряд на сходпмосзь: ~-1 3 5 .(2п +1) ~.,;2 5.8 .(Зп — 1) Ооо и !ачим а, 1 3 5."(2п-+1) 2 5 8 "(Зп-1) Используем признак Даламбера: ~1 3-5" (2ц+3) ~ ( а„, ~~, ~ 2 5 8. (Зй+2) ! . !~2п+3) 2 а ) в.» 1 3 5 .

(2п+1) ! - '(Зп+2,~ 3 2 5 8" (Зп-1) ) Так как по признаку Даламбера ряд сходится, если для всех достаточно больших и выполнено неравенство '"' < с1 <1 а„ а„, и расходится, когда — "' > 1, то исходный ряд сходится. ~ .:1 3 5.- (2п-:1) Ответ: Ъ " -- — — ' сходится. ;,,'2 5 8" (Зп — 1) 5 '1а апьа 5 Исследовать ряд иа сходимостьс Воспользуемся признаком Коши: Если !ипата„<1. то ряд Если !пифа„>1, то ряд М ~Ю вЂ” ! Зп — 1~~ 9 11пт~'а„= 1пп~ -" ~ ~—— — < 1 "*' " " 1,4п + 2~ !6 Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся.

ь - ~Зп=11 ' Ответ: ~ ~ ) сходится. , 1,4п+ 2) ' 'Зп — 1~ „,, ~4п+2~ У~ --- — ! а„- сходится. Х -" в-~ ~> а„- расходится. л") изда'!а б Исследовать ряд па сходнмость: Воснользусмся !!редслы!ым признаком сходимости. Если два ряда З а,, и ~» 1!„удовлстворян>т условикх М' ! а ! 1ии —" =А, !де 7.

конечное число, ие равное О, !о ряды Ь„ ~! а„и ,'! !!„Сходятся или расходятся одновременно. --! Ю-! Рассмотрим следуз!иший ряд: 11лз-" =1 — этг! конечное число, не равное О о -~. П Значит,;ряды ~~~ а„и ~> Ь„сходятся или расходятся одпОвреМФНКО. Дл!я исследования сходимости второго ряда воспольз1смся ии'!Вгральныы !Вризнаком сходимости рл !ОВ.

1',ели пако горля функиия ! (х) удоилетиорясз услолпю ((л)=-Ь„, то если ~((х)Йх сходится, то и ряд ~~Ь„ сходится, а если )Г(х)дх расходится. то и ряд ~ Ь,. расходится. Рассмотрим следующую функцикх 1 ((х) = —,— х1п х Если ~Г(х)дх сходится, то и ряд '1Ь„сходится, если а=Э интеграл расходится, то и ряд ~ Ь„расходится. Йх "рг!1пх 1 ~ 1 , х!п" х, 1п'х 1пх~Ь 1пЗ Интеграл расходится, значит и ряд ) 1з,. расходится. Из ~ -3 '' зтого следует. что исходный ряд тоже расходится.

п Отвсг: ~ —,— — — -- сходится. „; (и" — 3) 1п и Задача 7 Исследовать »зяд на сходимость: ( — 1)" и+ соя —,- ъ''и ~-4 Воспользуемся признаком Лейбница: если ряд ~" 1 — 1)" а„удовлетворяет условиям: в-1 1» а„- монотонно убывающая, начиная с некотороьо п = )х' 2) !пиа„= О, то ряд ,'» ( — 1)'а„сходится. й — ~О Н -"! Рассмотрим а,, = и соя(2/~)п+ 4) 2 х 0< — - —.с — ~сов(2/~'и+4) возрастает. значит, х»и+4 2 последоватсльность и + сов(2 ' ~»и + 4) тоже возрастает, 1 2 и+ сов ~и -ь4 следовательно, последовательность а убывает.

Тогда: ! 1пп — '-,— —.—. = 0 " '. и,+сох(2,'х'и+4) (-1)" Ответ; ряд,' --- --=-"-- сходитсьх и - сох! 2;»и - 4) ( — В' Значит ряд ~~ †-"- "--- сходится по признаку „.1 и+сох(2~'ъ»п-~4) :Лспбнииа. Задача 8 Вычислить сумму ряда с точносгью сс — — =-0.0! Х вЂ”:-- 1-1)' П' Обозначим и-ный член ряда, как а„: Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то. что члены ряда с ростом п монотонно убывают. !'огда нам требуется найти сумму ряда до Х-го члена, где Х таково, что для любых и>!! выполняется неравенство ~а„!.~.11айдем !Ч: 1а,;~=1>а ~!а, ! = О,! 25 > а ~а,,!=0037 >и !а,/=00!4>а ',а 5! = 0,008 > сс =Ф Х = 5 Найдем сумму ряда до 5-го членсп „.,'~~а,, = — 0,90 О в ' т ~~ - —,' - = — 0,90 + О,О ! ' 1 -1?" и 10 Найти область сходимосгн ряда: П (1- — )' с'" и "> — *~, б Обозначим а,-,=(!+ -)" с"' П сходимости ряда — Х. 2 При и — >;.с: (1 + — )" '-' = !); = — ) = и 2 а иском)го ооласть 1 (1+ — )' — > с Устремим степень е к нуэпо: О ! — — ~-х-~ а > нх > ее =е ->0=~( +хл п+2) — > — сс х +1 1 Персобозиачим )и = у =: — ( —; — -)у' ч ху > 2 = 0 — это х +1 у~>авнсние параболы с отрицательным коэффициентом при у .

Следовательно, ветви параболы направлены вниз и при г к — > ео — ''(, )у + ху+ 2 -> ж х' +! Истхбдя и з этого, найдем ооласть сходи>1ости: 1 ;. — ( - ., ) лс 0 с:> (х н К) ч1 Ответ; область сходимостн Х = (х н К';, Необходимым условием сходнмостн ряда является стремление к нулк> а„при стремлении и к бесконечности: а,, =(1+ — )" е'" =((1+--)"' ) с — >с е п и Зада ш 1О 11айги подав гь схолимости ряда: --г1х — 1) " "=' !Зп э!)' 11ривслсм этот ряд к степенному, з.е. к виду: У а,.х', с аь-а где а, не зависит от х и является постоянной величиной. 2к Положим а,, = —" --- —,, а с и = а,, „= О тогда исходный 1Зй.1)з' "" рял можно переписать в виде: , (х — 1)" =~) а,1х — 1)" " '1Зп+1)' Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применении признака Коши: ,)~з~ О'! 1'аким образом.

интервал сходимости ряда будет выглядеть сйедукипим образом: . -.-'Р< х — 1 <! -~ х н 1О;2) Ответ: область сходимости Х =- !х =: (О;2)) Задача 11 1Ьйти область сходимости ряда: п15' ")" Приведем этот ряд к степенному, г.с. к виду: ~, и,.х', ~лс а, ие зависит от х и является пос гоянной величиной. Положим а„= и, тогда исходный ряд можно переписазь в Виде: 'Геперь нам требуется найти 1пп Ц а „~ = 1.: ь-> 11пз "~~ а„1 = аппп'оп я-~"э . Воспользуемся'следующим равенством: 1иии ~ а1с:+,. Ь"= 1, где а и Ь постояно ыс числа, а>0.

Таким ооразом. по теореме Коши-Адамара, оодасть — 1 сходимости Х = (," 5-' ' ~<- =Ц, 1. Решим неравенство, чтобы в явном виде записать обласзь сходи мое ги: =:3 — х<О=эх>3 Таким образом, Х = (З,ао) Ответ: область сходимости Х = (3,0з) . Задана 1~ Найти сумму ряда: - — — !созх)" ""и+1 Произведем замену переменной: у = сов х А!у) = ~,. — — у = — ~~', — -у ' = —,à — у" .-ой+1- т ь. 1~+1.

ю 1 Иайдем сумму ряда ~~ — у К=! ! Рассмотрим производную р — у й-~1,- !Сумма убывающей геометрической прогрессии) Произведем обратпые преобразования для нахозкдсиня 1 суммы ряда ~ — у', то есть возьмем интеграл: к=.! !. Ч1ооы найти конссаиту С. найлеьч чначсиие ряда в некоторой фиксированной точке у, вовьмсм у - О,топча: „~ — О" = 0 =. — 1п(1 — О) + Π—. (; = О '|, = ! 1. с 1 рахим оорачом, сумма ряда 1 — (сов х) есть " 'и+1 1 — ( — — )1п('1 — (совх)) при совх ~1 с:~ х ~ лп,п и Х и ие сов х существует при всех остальных х.

Ответ: 1 1 „— (" — )1п(1 — соах)+1,х Ф лп,п е ~ ,"1 — (совх)" = совх п-.О + 1 -Л,х = ип,п я ~1 Задана 15 Найти сумму ряда: (и+2)х" ' 1 азлогяим "этОт ряд па сумму двух полее 11ростых !зядов; ~',(и+2)х"" =~~) (и ь5)х" =~~~,пх" +5~~> ' х' Найдем А(х) = ~ пх" . Заметим, что А(х) есть производная от функции В(х) = У х ', умноженная на х: нм В'( )=~, А(х) =-х В'(х) Сумма ряда В(х) есть сумма убывающей геометрической про1 россии и поэтому равна В(х) = —, при условии, что 1 — х (х!<1,'1'огда производная от В(х) есть х'(1 —. х) — х(1 — х)' 1 — х + х 1 В'(х)— (! — Х)-' (1 — х) 2 (1 — х)-' ' 1 х '! огда А(х) = х --В'(х) = х —, = — —,при !х!<! н пе (1 — х) (1 — х) существует при ! х !>1: Х„, =Х.;, ..':,в-з х,и х .