varr22(1)rady (Ряды (Кузнецов Л.А.)), страница 2

⋅ (α + 1 − k )k!Область сходимости : ряд Маклорена функции (1 + х ) при α ∈ ( 0; ∞ )αсходится абсолютно при x ≤ 1 ⇒данный ряд сходится абсолютно при x ≤AntiЗамечание.27.2В некоторых институтах требуют нахождения области сходимостиполучившегося ряда, потому что это важно для прикладных вопросов.СкачаносЕсли Ваш преподаватель не требует этой части , просто не переписывайте её6 _15 _ 22 _1∞∑ ( −1)xnnGTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :8n3 − 21при любом фиксированном x ∈ [0,1] ряд является знакочередующимся,n =13члены которого убывают и lim un = 0 ⇒ ряд сходится и сумма егоn −>∞остатка не превосходит первого члена этого остатка по модулю.Rn ( x) =(−1) n x n∞∑k = n +138n3 − 21≤x3n8(n + 1)3 − 21значит при x ∈ [0,1]Rn ( x) ≤138(n + 1)3 − 21138(n + 1)3 − 21< ε ⇒ n > −1 +Antiвзяв любое ε > 0 потребуем, чтобы(1 + 21ε 3 )1/ 32ε(1 + 21ε 3 )1/ 3 Положив таким образом N >  −1 + мы убеждаемся,2εчто при n > N Rn ( x) < ε на отрезке [0,1].

Тем самымравномерная сходимость ряда доказана, т.к. для любого x ∈ [0,1]Rn ( x) ≤138(n + 1)3 − 21≤ 0,1 ⇒ n = 5, 6, 7,... − при этих n абсолютнаяСкачаносвеличина остатка не превосходит 0,1 для все х ∈ [0,1]GTU.ru6 _15 _ 22 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :Ряд маклорена функции е х можно почленно интегрировать по любому отрезку.0,4∫e−3 x 2 4dx =0(−3 x 2 / 4) kdx =∑k!k =00,4 ∞∫0∞ 0,4=∑∫k =0 0(−1) ⋅ 3 ⋅ x4k ⋅ k !kk2k(−1)k ⋅ 3k ⋅ x 2 kdx =4k ⋅ k !k =00,4 ∞∫∑0(−1) ⋅ 3k ⋅ x 2 k +1 0,4 ∞(−1) k ⋅ 3k ⋅ 4 2 k +1|==∑kk2 k +1⋅ k !⋅ (2k + 1)k = 0 4 ⋅ k !⋅ (2k + 1) 0k = 0 4 ⋅ 10∞dx = ∑k(−1)k ⋅ 3k ⋅ 4k +12 k +1⋅ k !⋅ (2k + 1)k = 0 10Очевидно, что1) данный ряд знакочередующийся∞=∑2) ui > ui +1 при любом i = 0,1, 2,3,..., т.е.

последовательность модулей монотонно убывает(−1)k ⋅ 3k ⋅ 4k +1= 0 ⇒ он сходится ( по признаку Лейбница )n →∞ 10 2 k +1 ⋅ k !⋅ (2k + 1)Anti3) limТ .к. все эти 3 условия выполняются, то абсолютная погрешность при замене суммы рядана сумму первых нескольких слагаемых не превашает первого отброшенного членаu0 =∞229(−1) k ⋅ 3k ⋅ 4k +1> α ; u1 => α ; u2 =< α ⇒ ∑ 2 k +1≈512515625⋅ k !⋅ (2k + 1)k = 0 10(−1)k ⋅ 3k ⋅ 4k +122= −= 0.4 − 0.016 = 0.3842 k +1⋅ k !⋅ (2k + 1) 5 125k = 0 101≈∑0,4∫e−3 x 2 4dx ≈ 0.384ос0Оценим погрешность.Она складывается из1) погрешность замены суммы бесконечного ряда на суммy первых k членов2) погрешность округления (но в данном случае она равна 0, т.к.

во время округленияСкачанчленов ряда нет отброшенных цифр )99∂ = ∂ зам + ∂ окр =+ ( 0 + 0) =< 0.0011562515625.