varr22(1)rady (Ряды (Кузнецов Л.А.))

6 _ 01_ 22 _1GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке)∞(1) ∞ 1111 == ∑−∑∑23(n + 2) n=2 n + n − 2n = 2 ( n − 1) ⋅ ( n + 2 )n = 2  3( n − 1)∞k 11 Sk = ∑ −=3(n + 2) n = 2  3( n − 1) 11 11  11 1  1 1  1 1   1−=  −  +  −  +  −  +  −  +  −  + ... + = 3 12   6 15   9 18   12 21   15 24  3(k − 1) 3(k + 2) 1 1  1 1  1 1   1 11   11 1−  + ... + −− += −+ −+ − += 3(k − 1) 3(k + 2)  3 12   6 15   9 18   12 21   15 24 1 1 1 1111666 = + + −−−=  11 − −−3 6 9 3k 3 ( k + 1) 3 ( k + 2 ) 18 k k +1 k + 2 1666  11− 11 − −=18 k k + 1 k + 2  181(1) Представим дробь( x − 1) ⋅ ( x + 2 )lim S k = limk −>∞Antik −>∞в виде суммы простых дробей :1AB+=( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) x − 1 x + 2отсюда :1 = A ⋅ ( x + 2 ) + Β ⋅ ( x − 1)осподставляя в это соотношение x = 1 ⇒ 1 = 3 A ⇒ A =при x = −2 ⇒ 1 = −2 B ⇒ B = −получаем :13Скачан111=−( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) 3 ( x − 1) 3 ( x + 2 )13∞∑nn =62GTU.ru6 _ 01_ 22 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке)∞( 2) ∞363612  12=∑= ∑−− 5n + 4 n = 6 ( n − 1)( n − 4 ) n = 6  n − 4 n − 1 k12  12Sk = ∑ −=n −1n=6  n − 412  12 12 12   12 12   12 12   12 12   12 12   12 12 −=  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  + ...

+ =5  36  47  58  69   7 10  k − 4 k −1 2 12 12   12 12   12 12   12 12   12 12   12 12 12  12− +− += −−  + ... + −+ −+ −+=6   47   58  69   7 10 5   3 k − 4 k −1 212 12 12121212121212++ −−−= 13 −−−234 k − 3 k − 2 k −1k − 3 k − 2 k −1∞121212 36lim S k = lim 13 −−−= 13 ⇒ ∑ 2= 13k →∞k →∞k − 3 k − 2 k −1n = 6 n − 5n + 436( 2 ) Представим дробь( x − 1) ⋅ ( x − 4 )Anti=в виде суммы простых дробей :AB36=+( x − 1) ⋅ ( x − 4 ) x − 1 x − 4отсюда :36 = A ⋅ ( x − 4 ) + Β ⋅ ( x − 1)подставляя в это соотношение x = 1 ⇒ 36 = −3 A ⇒ A = −12при x = 4 ⇒ 36 = 3B ⇒ B = 12Скачаносполучаем :361212=−−⋅−−−1144xxxx( ) ()∞∑n =1ln nn5 + n∞GTU.ru6 _ 03 _ 22 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :ln n. При n = 1, 2,3,..., ∞ выполняется условние2n =1 n∞ln nln nln x⇒ если ∑ 2 сходится, то исходный ряд тоже сходится≥25nn =1 xn +n(по допредельному признаку сравнения )сравним этот ряд с ∑u = ln x∞du = dx/ xln x − ln x  ∞ 1 dx  − ln x 1  ∞==+⋅=−  | =1⇒dx|∫1 x 2x1dv = dx/ x 2  x  1 ∫1 x x  xv = −1/ x∞(*)∞ln nсходится по интегральному признаку Коши ⇒2n =1 n⇒ исходный ряд тоже сходится (по допредельному признаку )Anti⇒ интеграл сходится ⇒ ∑Скачанос ln n (*) очевидно, что для последовательности  2  выполняетсяn ln n1) 2 ≥ 0 при n ≥ 1n2) последовательность монотонно убываетln x3) 2 определена при любых x ≥ 1, т.е.

непрерывна при x ≥ 1xПоэтому можно применить интегральный признак Коши6 _ 03 _ 22 _ 2∞3∑ sinnn5 + 2n =1∞сравним данный ряд с ∑1GTU.ruв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :. Так как при α → 0 sin α13 / 6n =1 n3sin3nnα , то при α =1n1/ 3 ⋅ n13 / 6n +2n +2= lim= 1 ≠ 0, ∞ ⇒= lim= lim5→∞nn →∞nn→∞→∞11n +21 + 2 / n5n13 / 6n13 / 6⇒ эти ряды ведут себя одинаково (по предельному признаку сравнения )55lim∫x1dx =13 / 61∞⇒∑n =1113 / 6n∞⇒ ∑ sinn =1(*)−6 ∞ 6=≠∞⇒⇒интегралсходится|7 x7 / 6 1 7сходится (по интегральному признаку Коши ) ⇒3nn +25Anti∞тоже сходится 1 (*) очевидно, что для последовательности  13 / 6  выполняетсяn 11) 13 / 6 ≥ 0 при n ≥ 1n2) последовательность монотонно убывает1Скачан13 / 6осопределена при любых x ≥ 1, т.е. непрерывна при x ≥ 1xПоэтому можно применить интегральный признак Коши3)3nn5 + 2∞3∑ sinnn5 + 2n =1∞сравним данный ряд с рядом ∑n =1так как при α → 0 sin α3sinlimn −>∞113 / 6nα , то при α =nn +2= 1 ≠ 0, ∞15n13 / 6(по предельному признаку сравнения )∫x113 / 61dx =3nn +25−6 ∞  −6−6  6 6−| = = 0 +  = ≠ ∞ ⇒7/67 77 x 1  7 ⋅ ∞ 7 ⋅1  Anti∞GTU.ru6 _ 04 _ 22 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :(*)∞⇒ интеграл сходится ⇒ ∑1сходится по интегральному признаку Коши ⇒n⇒ исходный ряд тоже сходится (по предельному признаку сравнения )n =113 / 6ос 1 (*) очевидно, что для последовательности  13 / 6  выполняетсяn 11) 13 / 6 ≥ 0 при n ≥ 1n2) последовательность монотонно убывает3) она определена при любых n ≥ 1, т.е.

непрерывна при n ≥ 1СкачанПоэтому можно применить интегральный признак Коши5n ( n + 1) !∞∑ ( 2n ) !n =15n +1 ( n + 2 ) !limn −>∞GTU.ru6 _ 04 _ 22 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :5 ( n + 2)( 2n + 2 ) !un +1(2n + 2)(2n + 1)(2n)!= lim n= lim=nn−>∞−>∞1un5 ( n + 1) !( 2n ) !( 2n ) != lim(2n + 2)(2n + 1)= 0 < 1 ⇒ ряд сходится по признаку ДаламбераСкачаносAntin −>∞5 ( n + 2)6 _ 05 _ 225n ( n + 1) !∞∑ ( 2n ) !n =15n +1 ( n + 2 ) !limn −>∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :5 ( n + 2)un +1( 2n + 2 ) !(2n + 2)(2n + 1)(2n)!= lim n= lim=nn−>∞−>∞1un5 ( n + 1) !( 2n ) !( 2n ) != limn −>∞5 ( n + 2)(2n + 2)(2n + 1)= 0 < 1 ⇒ ряд сходится по признаку Даламбера∞n 5 3nn =1( 2n + 1)∑lim nn −>∞nn5 3n( 2n + 1)nAntiв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :3 ⋅ n5 / n= 0 <1⇒n −>∞ 2 n + 1= limСкачанос⇒ по радикальному признаку Коши ряд сходится∞n 5 3nn =1( 2n + 1)∑limnn5 3nn −>∞n( 2n + 1)n3 ⋅ n5 / n= 0 <1⇒n −>∞ 2 n + 1= limGTU.ru6 _ 06 _ 22в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :⇒ по радикальному признаку Коши ряд сходитсяв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :∞1∑ ( n + 3) ln ( n + 7 )2n=2∞12n = 2 n ln nAntiсравним этот ряд с ∑1( n + 3) ⋅ ln 2 ( n + 7 )n ln 2 n= lim= 1 ≠ 0, ∞limn −>∞n −>∞ ( n + 3 ) ⋅ ln 2 ( n + 7 )1n ln 2 n∞(*)−1 ∞11∫2 x ln 2 x dx = ln x 2| = ln 2 ⇒ интеграл сходится ⇒(*)∞1сходится (по интегральному признаку Коши ) ⇒2n = 2 n ln n∞1тоже сходится (по предельному признаку сравнения )⇒∑2n = 2 ( n + 3) ln ( n + 7 )ос⇒∑Скачан 1 (*) очевидно, что для последовательности  выполняется2 n ln n 11)≥ 0 при n ≥ 2n ln 2 n2) последовательность монотонно убывает3) она определена при любых n ≥ 2, т.е.

непрерывна при n ≥ 2Поэтому можно применить интегральный признак Коши∞1∑ ( n 3) ln ( n + 7 )2n=2∞12n = 2 n ln nсравним этот ряд с ∑GTU.ru6 _ 07 _ 22 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :1( n 3) ln 2 ( n + 7 )= 3 ≠ 0, ∞limn −>∞1n ln 2 n∞(*)−1 ∞11==⇒⇒интегралсходитсяdx|∫2 x ln 2 xln x 2 ln 2(*)∞1сходится (по интегральному признаку Коши ) ⇒2n = 2 n ln n∞1⇒∑тоже сходится (по предельному признаку сравнения )2n = 2 ( n 3 ) ln ( n + 7 )Anti⇒∑Скачанос 1 (*) очевидно, что для последовательности  выполняется2 n ln n 11)≥ 0 при n ≥ 2n ln 2 n2) последовательность монотонно убывает3) она определена при любых n ≥ 2, т.е.

непрерывна при n ≥ 2Поэтому можно применить интегральный признак Коши( −1)∑2 n +1n = 0 ( 2n + 1) 2n∞этот ряд знакочередующийся,GTU.ru6 _ 07 _ 22 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :u1 > u2 > u3 > ... − последовательность из модулей убывает ⇒⇒ это ряд Лейбницаlim un = limn −>∞n −>∞1=0⇒( 2n + 1) 22 n+1⇒ по признаку Лейбница ряд сходится∞1∑ ( 2n + 1) 2n=0un +1un1( 2n + 3 ) 2 2 n + 3( 2n + 1) 22 n+1 1= lim= lim= <1⇒n −>∞n −>∞ ( 2n + 3) 2 2 n + 3142 n +1( 2n + 1) 2Antilimn −>∞2 n +1⇒ по признаку Даламбера ряд сходится( −1)сходится абсолютно2 n +1n = 0 ( 2 n + 1) 2n∞Скачаносответ : ∑6 _10 _ 22 _1limn →∞nn( n + 1) !2=0∞nnрассмотрим ряд ∑( n + 1) !(n + 1)n +1n =12GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :(n + 1) n +1 ⋅ ( n + 1) !( n + 2 ) !un +1lim= lim= lim=2n −>∞ un −>∞n −>∞nn( n + 2 ) ! ⋅ n nn2( n + 1) !(n + 1) n ⋅ (n + 1)(1 + 1/ n)n ⋅ (n + 1)e ⋅ (n + 1)=lim= lim= 0 <1⇒= lim2−>∞n −>∞ ( n + 2) 2 ⋅ n nn −>∞n(n + 2)(n + 2)222⇒ ряд сходится по признаку Даламбера ⇒ lim( n + 1) !2=0СкачаносAntin →∞nn∞n2∑ ( n + 2 )! ( x + 1)2 n −1n =1Согласно признаку Даламбера :( n + 1)2 n +1( x + 1)( n + 3) ⋅ ( n + 2 ) !2ulim n +1 = limn →∞ un →∞nn22 n −1( x + 1)+n2!()( n + 1)= ( x + 1) limn →∞ ( n + 3 ) ⋅ n 222GTU.ru6 _10 _ 22 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :( n + 1) ⋅ ( n + 2 )!= ( x + 1) limn →∞ ( n + 3 ) ⋅ ( n + 2 ) !⋅ n 222= 0 < 1 при x ∈ R ⇒ область абсолютнойСкачаносAntiсходимости : x ∈ R=6 _14 _ 22 _1∞∑2 nnn=512( x + 2)n1limn −>∞=2un +1= limn −>∞unn +1(n + 1) 2 ( x + 2 )12n n 2 ( x + 2 )n +1=nпроведем ииследование на границеa ) x = −5 / 2∑2 nnn=5∞12( −5 / 2 + 2 )n=∑n=5так как u1 > u2 > ...

иlim vn = limn −>∞n −>∞∞1∑nn=52сходится (см.ниже) ⇒ ряд сходится абсолютно.b) x = −3 / 2nn=51∫x2∞12( −3 / 2 + 2 )dx =n12n =5 n=∑ос∑2 nn=∑1= 0 ⇒ по признаку Лейбница ряд сходится.n2Ряд из модулей∞2n n 2 ( −1/ 2 )(−1) n− ряд Лейбница,2n =5 n∞1Anti∞512n n 2lim n +1=x + 2 n −>∞ 2 (n + 1)21< 1 ⇒ x ∈ (−∞; −5 / 2) U (−3 / 2; ∞) сходится абсолютно2 x+2согласно признаку Даламбера.∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :−1 ∞ 1| = ⇒ интеграл сходится ⇒ ряд сходитсяx 5 5(по интегральному признаку Коши )Скачанобласть сходимости x ∈ (−∞; −5 / 2] U [−3 / 2; ∞) − сходится абсолютно.6 _14 _ 22 _ 2x 3 27 − 2 x = 3 x (1 + (−2 x / 27) )1/ 3=GTU.ruв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :∞∞∞(−1) k ⋅ 2k ⋅ x k ⋅ C1/k 3(−1) k ⋅ 2k ⋅ x k +1 ⋅ C1/k 3 −2 x = 3 x ∑ C1/k 3 =∑ = 3x∑33 k33 k −1 27 k =0k =0k =0kзамечаниеCαk =α ⋅ (α − 1) ⋅ (α − 2) ⋅ ...