21 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

'задача ! 11ай ~ и сумму ряда 60 и ' — Зп -:15 ! 1роизведем >квиваяептпмс преобразования ряда: Так как п -8п+15 = (п-51(п-3), зо получаем, его исходный ряд мы можем переписать В слсду1ошем виде; бО -, (зО " ' п — За+15 " (и — 3)(п — 5) ~,п — 3 и — 5 ) =- — ( — -" — — — — )~ =,Г.бб —. ( — — ) = 2 п — 5 п — 31' "'' 2 и — 5 и — 3 1 1 .:: 1 1 —. 3()',>"",( — — — -) --. О(х ~"„ "' и — 5 п — 3 ""и — 5 "='п — 3 1 1'ассмо грим.

ряд,У ='п 5' 11роизведем замену ,'п-5 = К,', то~да суммирование будег 1 1 производ(иться от 1с = и-5 =- (п--.7!- 7 -5 =2, и и -.5 ! ' ',1!оде гаппм долучешщс зцачспвя в ряд ~' и — 5 У. '- '>- ! 1ноп 38.', ~см ана 1о! Ич!пис преООра кованая и с рядом У !отав для не~ о заменя,'п-3-1.,' и — 5 начальное 1; = Й-З =' ,и =: '; — 1-"ъ=4, а а — 5 ! ! 1одставим данные в У П вЂ” 3 1 ~-, 1 1 4=-4 ! и — а Итак, мы получили, что исходный ряд равен равности двух рядов: 1 1, !..', 1 5 =-5О!!-+- -У ' -1-~;" — )=ЗО '- =~5 а ' я=з ! '"='! 6 О в: У'';, — =25 60 ~'=' и — Ми+15 Исс:1едыв11!ь ряд!и схОднмос Гь: х--Ыбп (' ) П в1п ['2") Обозначим а„,-- Так как для всех п ып ( 2" ) <1 .

п) для всех п.)акжс верно следу)ощее угверждение: 1 1 а, < и П" Докажем сходимость ряда ~ —. '1'о) да из его ! 1 2.„ сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда оп будет ограничсн сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрицательны: а!п ( 2" ) 26 ). 1 Обозначим ))„= — —,. 11о признаку сравнения (говорящему, 1 ч)о РЯд виДа гз — сходизсх только пРП Ус)пп)ии, что а П сгро! о болвше 1. т.е. а>1 и расходится в противьн)м случае. 1 прп а<1),ряд ~ ' — сходится. !ак как выдоя)!яс!ся 'Л— П ) сровие сходимости: 2".1. с'- я)п (2 ) :Цдягох!у и исходный ряд 2 -- --;--- !Оже сходится. П 1'-. !П '( ') 1),'в<1; )!я.1 Х вЂ” — схо'!!!!ОЯ.

!ала га . Р1сслсловать ряд на сходимосгь: ,(! -сов — ) П Обозначим а„=-(1 — сов — ) и л 1! рп и -+ со соь — = 1 — —,. поэтому сходимость исходно~о и 2п' ряда эквивалентна сходимости след)к~щего ряда: Х.' (1-1.-'-'-;) =Х' — ': — Х -"'-. 2п-' " '2(п+1) "='2п' и с 1 Докажем сходимость ряда — у —; — .

Тогда из его 2 " 'и-' сходимости будет следовать сходимость исходного ряда. так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрицательны). 1 Обозначим Ь„= —;. По признаку сравнения (говорящему, и 1 что ряд впда ~ — сходится только при условии, что а ю-~ а с~рого больше 1, т.с. а'1 и расходьнся в противном случае. и'; ! ,арн' а<1) ряд- - > —, схочится, так как выполняется ' и" тсловие сходимоспн 2-1. и 1!оэтому и исходпьш рял '! (1. сок,.) Гоже сходится. и с иве, ряд ''З (1 со,'.

! схо.ш~ся. задача 4 Исследовать ряд на схолнмоси< ,-" 2" и! и'! зн Обозначим а„= — — ' и. и"! Используем признак Даламбера: 2""('и+1)! а„,, (и+1)"'! . и"! (пи - " ' = 1ни — '-; -- — = 1нп 2( - —,)(и + 1) = () < 1 '- ° а " 2" и! " " (и -ь1)ьн( й и"! Так как по признаку Даламбера ряд сходится. если для всех а<и достаточно оольших и выполнено неравенство --'-"- < ц < 1 ав и расходится, кьнда — ' > 1, то исходный ряд сходится. ао ':': 2" и! ()1 вот: ~~~ — сходи тся. и"! 11сс ге игал и ряд иа с .олимость: ~ и агсМ' — "' лп Воспользуемся признаком Коши: Если !1п1",,1а„«1, та ряд ~ а„- сходи~ся. Если 1пп 1а„>1, то ряд ~~> и„- расходится. и-! и 11ш " а „= 1ип Ф и агс1 о — = 0 < 1 Таким образом, по признаку Коши исходный ряд являстся сходящимся.

Ответ:,) и. агсгя' -- - сходится. Зп )ал"!ча б 1(сс:!едавагь ряд на сходнмость; ..=~ а , ! (и-ь5)1н (и+!) Воспользуемся предельным приз!вако>! схолимости. Еслидваряда ,'! а„и „') 6, удовлетворяктсусловию; ч —.! а„ 1ии -"-= У., где Х - конечное число, не равное О, то ряды /)„ ~ и„и ~~) !!„сходятся или расходятся одновременно. ° -! Рассмотрим следующий ряд: 1 =у Ь„ „. (в ь5)(а'(п+5) а„ 1пп —" = 1 —,- ото консчное число„не равное О 1!,, Значит,, ряды ~~> и„и ~ Ь, сходятся или расходятся одновременно. '" Д.!я исследования сходимости в !о)нл о ряда воснользусь!ся и !! ! е!(яа'н ным приянаком с ходим ос ! н рядов. 1.сли псноторая ф) акция Г(х) уловлсгно!зяе: )слоннн~ у(н! =-6„, то сслн ~!'(х)с!х сходи~ел. то н ряд ~~ Ь схо.:нпся, а сели ~1(х)с(х расходится, зо и ряд Ь, расходится, Рассгиотрнга след~ н) д) ~о фунннинн 1 р(х) — — — - — — —:- —— (х- 5)!и'(х+5) Если !!'(х)4х сходится, то н ряд ',> Ь„сходится, если интеграл расходится, то и ряд ',> Ь, расходится.

Йх 'р!!п(х+5) 1 ! 1 , ( х + 5) 1п ' (х + 5), ! и (х + 5) 1п(х + 5) ~ „(п 7 Интеграл сходится„значит н ряд ~~~ Ь„сходится. Из сходигиоети этого ряда следуст сходнмость исходного. 1 ::Отясг: ~~ - — — — —,-- — сходится. , (и+5)1п'(н э !) ')адана 1!сследовагь ряд на сходичость: — ( — !1 ,,„х'5п — 1 4 .'и 1 т Рассмотрим а, = —,==-- 10 — — —: ,1 5п — ! 4~ и и и я О < — < -;-~ ~й убывает, а так как функпия ~'5х — 1 4 ~п 2 4~п 1 и а„=- 1а х'5п — 1 4х~ и возрастает, то последовательность выбывает.

'! огда: 1. 1ип =.=. ' !й = —. О Г---- ':.,~,. ~п —. 1 4,~п -- ! — 1)' Таины- образом, ряд ~, 1а признаку Лейбнина, сходи ься но " ! - 1)" 0 вен ряд Х вЂ”,—.=.—.— !й --':. с, )ди1ся. .,'5 — ! 4' Воспользуемся признаком Лейбница: если ряд ~~~ 1-!)" а„удовлетворяет условиям: а-1 1) а„— монотонно убываюшая, навивая с некоторого и = !ч 2) 1!п~а, = О, то ряд ,') (-1)" а,, сходится, па ~ 'й<.з;«а Х В< <'<испи п сумм) ряда с и<'ик<стьк) гп У -- — г< --- 0.0000) (-) )" „,, )2и))<1! Обо пьачим и-пый член ряда, как а„: !-!)" а, = )2п)) и! ')тобы вычислить сумму ряда с заданной точное <ькх слелует принять во внимание то, что члены ряда с рос гом и монотогппз убывактп 'Говда нам требуется найти сумму ряда до Х-го члена, где Х таково, что для любых и>Х выполняется неравенство (а„! й.

Найдем Х: ,'а,.) = 0,5 > с< ~а,( = 0,02083 > и (а,,: = 0,00023 > с< ',а,:: = 0.00000 ! < и = Х =- 4 Найдем сумму ряда ло 4-го члена: ,~~' а;. = — 0,47940 . р-! ()<нем ~~: = -0.47О40:: И,()000! (--!)" "...:; (2и)! и.' Зада га 9 Найги обласэ-ь схо гимос~и ряда: Х;., -,' Х ""1е' -' п)п Обэозиачим искоьгуго область сходимости ряда. как Х. !1ри всех х и всех и верно следуюгцес неравенство; х х 1 1е" + п)п '1'огда исходный ряд ограничен следуюпгим рядом: ! РЯд ~~ ч---,-сходитсЯ по пРизнакУ сРавнениЯ !гак как степень и равна 2, т.е. болыпс единицы).

Из этого заключаем. что исходный ряд сходгггся при всех действительных х. Отлет,,:,огбласгь сходимости Х .= ( —.-с,э- о) = К . 3аьл ~ (О 11ай ~ н о()яас'~ ь сходнмоспи ряда: (-!)" — -('х ~- 4)" ' '(4п !)3" 11рнвелсм пот ряд к стеленному: !)" — -'- — --;(х~4)' = ~~ а„(х-~4)", " '(4п»-1)3" ( — 1)" где а„ (4п +!)3" Используем формулу для нахоккдсния радиуса сходимости. основанную на применении прпзнака Коши: 'Гакнм образом, интервал сходнмости ряда будет выглядеть слсдукицим образом: — 3<хи 4<3 ~ хе(-7: — 1) Огв'т': область сходимос~н Х вЂ”.,'х н ('-7;-!),' 1 К =1(л- —.. и .

~ ! '~(а, ! !((4п+!)3" ! ., г= =1пп.(:-- — — ' —,( = 11пз'((4п+1)3*' = 3 1)п Задача 11 11айтн полнеть схолимости ряда: Х ,п(е "'')' Приведем зпот ряд к степенному, т.е. к виду: ~ а,х гдс а, не зависит от х н является постоянной величиной. Положим а, = и, тогда исходгняй ряд можно переписать в вилс: ,п(е "")" = ~ ча„(е "'")' '1 еперь иам требуется найти 1(пз п~ а„~ = (,; Я (ип О, а„1=!(пз'~(п и б Воспользуемсяследукиним равенством 1нп ~х( й ~- Ь = 1, где а и Ь постоянные числа. а>О.

1'огда: !аким обраям. оо 1еорсмс !,оип-Азама!хь область ! схолимостп Х =,', е " ' < — = !', . ) Рсгпим неравенство. побы в явном вилс зависаешь область схо, п1мости: е "' > ! = е'" => -в!и х > О =~ в!и х -: О ~ ! ~+2пп7 пп! Таким образом, Х = (-п+ 2пп,2чп), п ~ Х. Ответ: область сходимости Х = (-гг+ 2ггп,2пп), п е Х. ')',С 555: га 1й)йн) сУмму ряда: Произведем замену переменной: у --1 — х): ! . ! = !» ! "! А(у)=-К,— --у =-~"., — -у" =-~; —. "'")с+! у "Я)с+! у с Найдем сумму ряда ) ' --у Я!1, Рассмотрим произволну)о ~~~, — у 5: ( Ь.5,, ' / 'Ц;О (Сумма уб)5)ван)щей гсох)сгричсской прогрсссин) Прои'5асдем ооратнь)е 5)рс()ора)ования для нахоткдсния ! суммы !щд)5 „) — у, то 'сть возьмем интеграл: Чтобы пай~и конс анзу С.

найдем значение ряда н некоторой фиксированной то ~ке у, возьмем у — О. тотда: — 0" = 0 = — !и!'1 — О) + С ~ С.' = О ! х = 1 П Таким ооразом, сумма ряда ~ (1 — х ') есть * оО +! — !.- -- —,) 1п(1 — (1 — х ' 1) при ~! — х '! < 1, х ' > О с~ О < х < 1, и 1 — х не существует при всех остальных х. 1 1 з „- ( —,) 1п(х ),О < х < 1 Ответ:,) „(1 — х )" = 1 — хз -3,х е( а:О! ~!!.оо) 1-13йтц сумм) ряда; У",(и-1)!х') ' Рпзлоляим этот ряд иа сумму' двух Волсе врос гзлх )эядов; ',(и ч-1)(х )" =-~, п(х )" +,У я(х )" . 11роизведем замену псрсмсипых у =- х '.