20 (Ряды (Кузнецов Л.А.)), страница 2

Тогда 1вн':! а, ! — ! Р ььйа иаит20 1'аким образом. но ~еореме Коши-Адамара, область 1 сходимостн Х вЂ” -. Ц 182х ,'< -- = Ц . 1. Решим неравенство, чтооы в явном виде зацнсать область сходимости: ! 182х «1, , '182 х ~< 1 — -> ~ '1182х > — 1 лп л ян х е ( — — + "- —,+ — + — ), н е )х) 8 2 8 2 я кп л лп Ответ: ооласть сходимости Х = (- — + —,+ — + — ), и ~ Х . 8 2 8 2 Ри:: ьн Ва иаит 20 Чтобы найман констанций С, найдем значение ряда в исиото!зой фихснроианной еоихе у, возьмем у —.' О. тогда: - О" =- О =- — 1п(1 — О) + С ~ С = О 4 1аким образом, сумма ряда ~ ----- 1 )' есть -'и+1 х' х-' 4 ~4! — ( — ) 1п(1 —, ) при ,'--;~ < ! е."н х )> 2 и не существует при 4 х '',х'; Всех остальных х. х Ответ: --- — ( —,)" =' ' 4 Х' 1 4 „-" —,.( — )!и(1 - —;) + 1,! х !> 2 х ~а=О 3,)х(<2 Р ьк Ва иант 21! ')эдача !? Найти сумму ряда: ,(и+1)(х )"' Прсобрал см ряд: (и+!)(х )" ~ =~~) в(х-)" Произведем замену переменньгх у =- х ' ..

Найдем А(у) = ~,пу" . Заметим, . что А(у) есть производная от функции В(у) = ~ у", умноженная на у: В'(у) = ~~,пу" А(у)=у В(у) Сумма ряда В(у) есть сумма убываогцей геометрической прогрессии и поэтому равна В(у) =.— —, при условии, что у 1 — у !у! -.1. '1'огда производная:от В(у) такова: у'(1 - у) - у(1 - у)' 1 - у + у 1 В*!у)— (1- у)' (1- у)' (1 — у)-' у Тогда А(у) = у В'(у) =у.— —, =-- —;при !увс1 и не П- у) (1- у) сугцсствует П(ти ! у ~>1: у = (1 — у)2 (1 - х )' ! — —;,,!х 1< ! ' Отвез У (и -:1)х' —. (1 — х') !м,, 'х,'> 1 Ри ьь Ва иаит 20 З.лапа 14 Раз.южизь функцию в ряд Тейлора по степеням х: (х — 1)М: х Чтобы решись зту задачу„следует .:воспользоваться табличными разложениями в степатшые ряды. Приведем функцию к виду, удобному для разложения: е" — е" х-1» „ (х -1)зпх =-(х — 1) — - = (е" — с ") 2 '2 Воспользуемся ыбличпьти разложением для е'; х — 1, .„х — 1~, х х 2 в (., )= 2 ' 2 (': 2! и! ! х — 1( х.' .

( — 1)" х' 2, ' -21 п! х — 1~- х" ' х — 1,-~ — х)' „,.„и и! 2,, „, и! Ря, и. Ва нант 20 За,:(а (а 1; Вычисли(( интеграл с точностью до нд101: ' г1п(1 — 2х1 1= 1 — — — 4х Разложим полынтегральное выражение в ряд Тейлора по х: 1п11-2х) (~ ( — 1)" '2" х" ') х п Так как интеграл суммы 'равен сумме интегралов, то возьмем приведенный вылив,интеграл почленно. Результат будет вьп.лялеть следуюшим:,образом: У нас получился знакопеременный ряд.

Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, достаточно найти сумму. (якого ряда до. члена. по модузпо меньшего. чем 0,001. Таким образом, нам нужно найти о(, удовлегворяюшее следующему неравенству: ' Иска(1 ' Озлсм слелыоннзы образом: .