20 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Рн: ы. Ва вант 20 Залача 1 Пайзн сумму ряда 18 '"=' и' - 7п 10 Произведем эквивалентные преобразования ряда: ')ак как и -7пз-10 =- (п-5)(п-2), то получаем; чго исходный ряд мы можем переписать а следующем аиде:, ! "' п" — 7п+10 " '(и — 2)(п —.'5)' '(п — 2 п — 5 1 1 1 '! . !'-1 1 -----)~=,'". 1З.— (.—— 3 п — 5 и — 2)' "' 3 п--5 п — 2 — T, 7", 1 1 . '~'., 1,, 1 =б ' ( — )=б(у" -7" ) --'': 1 Рассмо'Г(знм ряд 7 к=т и — 5 Произведем замену,'п-5 = !с), тогда суммирование будет 1 1 пропзаодитаоя оз к =- и-5 = -', и -7';-- 7 -5 =2, а и — 5 1 Полсгавнк1 полученные значения в ряд ~~ 'и 5 Радев Ва шант 20 Произведем аналогичные преобразования и .с '-рядом 1 1отда для нсГО замепа (п-2=1:~; о П вЂ” .

иачачьиос К = и-2 = ( и =-7,' = 7-2="5, а 1 п — 2 Е 1 ! 1одставим данные в у " 'и — 2 Итак, мы получили, что исходньщ ряд равен разности двух рядов: 18 ~-. 1,з 1 =б~,-- ~"", 1= 1З 1З --- б(( — + — . — + 7 ' --~ — 7 — ) = б. — =— "-'1 12 18 1З Отве~ У "='-и': — '7п+10 2 Ря. ы. Ва иант 20 )влача 2 Иссле щва Гь ряд иа сходимость: .,-.- " ' (и+ 1)(п ~ 2) 1-япп Обозначим а,,:— ('п -:1)(и -' 2) Тогда для всех и верно следующее утверждснйе: 2 а„< —,.

так как! -ьзи (и) <2. 11' 1 Докажем сходимость ряда 2'- 2 —, '!'о| да из его '~'"'и сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, гак как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрнпагельны). 1 Обозначим Ь,; = — —, По признаку сравнения (говорящему, и 1 что ряд вида у †сходит только при условии„ что а "'и" строго болыпс.,1, т.е." а>! и расходится в противном сл)'щс, 1 щзн а,<1),)зяд у — — сходится, та«ка«вьлголнясзся и-! г п условие с«аламос гн: 2>1. 1 — вши Позтому и исходный 2 — -.

ряд гоже сходи гся. "" (и + 1)(п + 2) ! — з1П н Оз вет: ряд у ' — - — — сходи ~ ся. (п 1)( -: 2) Ри ы. Ва иант20 '1 здача:. Исследовать ряд на сходимосгтс Х .,:-- и з! —.3 фи — 1)(п~'и 3 — 1) и 1 и+1 Обозначим а„=----- =-- — -.= -- — ' ' . — < л !)(Пъ и 1) (мп 1)(пзз п 1) п+1 п+1 2П 2; 2 3: < -.дГ, 3 з з,з: 3,:зззз ~иит1 и — " .'-- -.— и 113 4 П334 пз4 Докажем сходимость ряда 2~, ' ' ', . Тогдаиз его ;~ '..1 и" сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, гак как тогда он будет ограйичен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда нсотрипательны).

1 Обозначим Ь„=- —,; —,;;-. По признаку сравнения(говорящему, 1 его ряд вида ~; —,сходится только при условии, что а и "Г Ф,', строго больше 1, т.е. а>1 и расходится в противном случае, ири а<1), ряд:2з — - —, сходится, так как выполняется 1 33!ЗЗ 13 условие сходимости: — - > 1. 12 и 3-1 Тогда исходный ряд ~ -, — — гоже сходится. — 6/и - 1)(П4г' - 1) и ь1 11пзст: ~ — --- ----, сходится. ;-. (3.'11 -1)(и'(3п3 -1) Ряды. Ва иант20 'зада~ а .ф Исследовать ряд иа сходимосп,: ~-з'х.п,, (и:1)! ~п~~ 2 Обозначим п„-' —— (и+ 1)! Используем признак Даламбсрсс ~ 5"'фи+1)' !пп! —" — '! = 1пП вЂ”,— — — ~ -Йпз! 5(- — )' -,— 1=-0 <1 "- ~ а ) " 5"'!' ' ' -"( п (п+2)) (п+ 1)!' '1'ак как по признаку Даламбера ряд сходится.

если для всех достаточно болыпнх п выполнено неравенство - -."-' — ' < ц < ! а а.1 и и расходится, когда — ' > 1, то исходный ряд сходится, а, Ответ: ~ -- - -сходится. :(1з + 1)! Ря ы. Ва иаит 20 Задана з !1сслсдоаа~ь ряд па сходимость: Х и ,3п — 1„' Воспользуемся признаком Коши: ив Если 1!ш !1а„< 1, то ряд,~ а„- сходится: 1-~ ан Если !ип ~а„> 1, то ряд,Г а„-.расходится. им и~ 1~ 1!пз "! а„= !пп~ — ~ = 1!тп~ — + — — = О < ! 1,Зп — 1~ ...

» ~ 3 3(3п — 1)) Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся. Ряды. Ва иант20 1адача 6 Исследовать ряд на сходнмость: 1 Х. — — — ---=Х' « ~ !'Зп — 1).„Лп!и — 2) Воспользуемся предельным признаком сходимости. Если два ряда ~~ н«и ~ Ь«удовлетаоряют условию « !пп---''- =- Х, „где Х вЂ” конечное число, "ие равное 0«то ряды Ь„ ~~~ а, и ~> Ь«сходятся или расходятся одновременно. «и Рассмотрим следующий ряд: . 1 Х вЂ” — — — - - =-ХЬ« „; (п — 2) /!п(п — 2): 1пп —" =1 - это конечное число.

неравное 0 '-' Ь„ Значим ряды 2 ««и ~~ Ь«сходятся или расходятся одновременно. Для исследования сходимос~и вторило ряда восчюльзуемся нптргралвным признаком схолимости рядов. Ря ин Ва иаит 20 Вели неко юрая функция 1'(х) удовлетворяет уссповию 1(~) = 11,, то если ~Г(х)11х сходится, то и ряД,> Ь, сходится, а если )('(х)1)х расходится, то,и.

ряд,) Ь, -*! П- ' расходится. Рассмотрим следук>щую функцию:--. 1(х) = — — —;,:- — = 1 (х — 2) ~г)п(х — 2) Рели ~Г(х)дх сходится„го и'ряд ~ Ь„сходится, если п=4 интеграл расходится, тп И ряд ~~1 Ь. расходится. дх:, д!п(х — 2) — — ~)- . = 2~1п(х — 2) ' =со ... (х — 2) ~Яп(х — 2) -,,) 1п(х — 2) 1 1) га1ет; ~~ — - — — - -- — расходится, (Зп — 1) /111(п — 2) Интеграл расходится, значи1 и ряд ~~» Ь„расходится.

Из р-4 ВТО!Х) СЯЕЛУЕГ, гио ИСХОДНЫЙ РЯД ТОЖЕ РаСХОДИтСЯ. Ри ьп Ва иант20 Задача 2 Исследовать ряд на схоцимость: ',„(-!)" ",,=-- ~*п Воспользуемся и!зизпаком Лейбница: если ряд ~~! ( — !)" а,, удовлетворяет условиям и-~ 1) а„монотонно убывающая, начиная с некоторого и = Х 2) 1ипа„= О, то ряд ~~~ ( — 1)" а„сходится. й -~ 1!и и+1 Рассмотрим а„= ~(п и+1 Докажем, что а„— убывает. Рассмотрим функцию ~п' х+1 ('(х) = —,-„-- ~'х х4х — 3~2(х+ 1)~х ъ)х(х 3) 1!роизводная Г(х)' —,; — — - - — --- ' < О х' 2х' п+1 при х>0.

Следовьательпо, !!х) убывает, и тогда а„=— ъ'п ' убывает. и+.! 1!гп а,, = !!тп —,— ' — — = 0 й ~ж б ~м ' 3 ' ъ'п „п -г1 Значйз„ряд 2 (- ! !" —, сходится по признаку Лейбница. й1' — и -"1 " .Ответ; ряд ! — 1)':=- сходикя. и Ри ыь Ва нант20 Вычислить сумму рата с 1оч»и»с~ьк» се Обозначим и-ный член ряда. как а„: ( — 1)" 3" и! Чтобы вычислить сумму рядр с: заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывают. Тогда иам требуется найти сумму ряда до й'-го» члена, где М таково, что для ли»бык п>И выполняется неравенство ~а„(Яе Найдем Х: 1а, ! = 0,33333 > а )а„= 0,05556 > а ~а,(= 0,00617 > о: а„~ = 0,00051 <.и (а,(-- 0,00003 ~» а =:» Х = 5 Найдем сумму ряда до 5-го члена: ~ а,'гж — О,2835 (и вет:,'» -- — — - -0,2835 т 0.0001 '.

(-1)" 10 Ря ьь Иа наи~ 20 ')анги~а о ! )айти область схолимости ряда: и агсап13 Обозначим искомую область сходимости ряда, как Х. При х < О,п — э в вкшолняегся следующее приближенное равенство: пагса)пЗ" = пЗ"' Т)ри всех х<О и всех достаточно-больших и сходимость исходного ряда эквивалентна сходимостн ряда '> п3"" . 6-1 Ряд ~~! пЗ"' сходится йо признаку Коши: Прн х=О п агса)п 3" =- пагсяп! = Он ряд сходится При х "0 3" >1', а тогда функция агса)п 3" не определена. Таким образом, область сходнмости вгигляднт так: Х вЂ”.-.0 ~ Ч-'оэ:О) =- ! -х:О! агаси область схолпмости Х = (-еоа)1.

Р ы. Ва пан~ 20 Зыдыиа 10 Найти область сходимости ряда: 1 — — --" — — -- — (х — 5)" " ' (и+ 4)!п(и+ 4) ! 1ривсдсм этот ряд к степенному: У, --- (х-5)" =У,а„(к-5)'., "'=' (п+ 4) 1п(п+ 4) 1 где а„=-— (п+ 4)!п(п+ 4) Используем формулу для иакозкдения радиусы сходимости, основанную на применении"признака Коши: 1 К = !!гп = 1пп' !(и+ 4)(п(п-ь 4)! =1 «/,'а„( 'Гаким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следующим образом. -1 < х — 5 <! .=''ъ х е (4;б) !)твет: область сходимости Х = (х е (4:6)) Задавя ! ! !1ай ги облает ь сходнмостн ряда: 1 -т!!я2х)' н Приведем этот ряд к степенному, т.е.

к виду: ~ ~а„х~. где а, не зависит от х н является постояштоЬ величиной. Положим а,, = —;., тогда исходный ряд можно переписать в виде: —,(1й2х)" = ~~> а„~!ц2х)'. Теперь нам требуется найти'Бтп Д а„; = 1.: и Воспользуемся следунвпим равенством г 1нв ~~~а!с+ Ь" — "1, где в и 6 постоянные числа. а>0.