03 (Ряды (Кузнецов Л.А.)), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Ряды (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
найнем нов кннс рвла в нскогорой фиксированной ~очке х. возьмем ) — О, ~окав' 1 ! ак1и! Ооразом. 'с'~*ммв )зинам ~~ — ' 11 х ) ссп '"и '1 — 1н)! —.,11-'х')) при,1 — х,! к 1 с~ х '<1, и нс х -1 1 . — ! —,)1и)х').) х'< ! 0)вез: ~~ — !1 — х )"' = 1 — х' 'Он ~1 ~3.)х~ 1 )влача 15 Найти сумм) Ряда: (и 4)х" ' 1'аядсокияг этот Ряд иа сумму дв) х бодее ирис гых р~дов: У,(и ~4)х"'" =,«г(и-г 5)х" = ! „их" ~5',) ',х'. Найдем А(х) = ~ пх" .
Заметим, что А(х) сеть ироизводпая от функции В(х) = г, х", умноженная иа х: В'(х) =~~~ ',их"' А(х) = х В'(х) Сумма ряда В(х) есть сумма убываницей геометрической х ггрогрессии и иозтоягу равна 8(х).= --, ири условии. что 1-х !х!.г1. '1 огда ироизводиая от В(х) такова: х'(1 — х) — х(1 — х)' 1 — х + х 1 В'(х) — -.— (1 — х)' (1 — х)' (! — х) 1 х Тогда Л(х) =- х В'(х) = х — — —, = — — --, лри 'х;< ! и не (! — х) (! — х) суи!ествуег нри ! х 1!~ 1: Х;,(и" 4)х" ' =Х,их" +51„,,х" =- ', +5 —-- «1-х)- 1 — х ~'"+ 5(1 — х) 5 — 4х (1 — х !" (1 — х) ( 5 — 4х —,.; ххс) Ответ: ~~~ (и+4)х" ' =)(1 — х)' ' си .' 'т., ! х !> 1 ')адана 1) ра', ьп1о1ть фупкпнн в ряд '!сйлора по степеням х )п(1 х — бх ) !тобы !зспзить з1у задач). слслуе~ воспользоваться заоличныыи раиюьясниями в степенные ряды. 1!риведем функциго к виду.
удоопому для )зазложеиия: ! п(1 - х — бх ] = )п(1 — (х ь бх )) Воспользуемся табличным разложением для 1п(1-у): (бх + х) (бх ' + х)" !п(1-(хе бх )) — -- -! (бх'+х)+ — - — +...+— 2 и (бх - х)" ---Х вЂ” — „— -:: Ряд. полученный нами, еще нс является рядом '!'сйлора по степепяы х. Сле,луст воспользоваться табличными разложениями еще раз, Для мого преобразуем функциго следук)тпнм образом: ь(бх -х)" "1 — -- =- — ~ — (бх ь х)" и ! П Воспольз) смея табличным разлоххеписм для (а ~ (з) Иоложим т =- !т т и. Т.к.
1с.пи М, 1о В < й < ~п, 0 < и < пз. Из определения 1с следует. что й < и. теперь найдем все возмовтные комбинации 1 и и. чтобы ьп =- ~ - и, где пз произвольное фиксированное число, еп Х. Т.к. 1т < и, ~о )с<(пъ'2)„т.е. кя,„я=!птт21. Найдем коэффициент перед х": так как пт раскладывается бк на сумму и и )т несколькими способами, то С„,=- ~~ — С',, м~', и тде суммирование ведется по всем допустимым парам 1п,!т).
Выразим индексы и и к через нк и = гп — к Итого: Тогда: . г!~п и Гяс =-~~ т — б'с,'„„1 ,,„,~. о пт — й рм:н Ответ: ! п11 — х — б х ' ) = — ~ ! ~ — -- б' С,',„я х"" „„пз- к !а юга !5 !)ычислнзь интеграл с ючнос~ьк~ до 0.001: 1 — )сов(к к(: Разложим подынз авральное выражение в ряд Гсйло!за по к: ~сов(к Ик ~~"У( 1) " 1~к ('2п)! ' (ак как интеграл суммы равен сумме интегралов, !о возьмем приведенный выше ивгеграл почленно. Результат будет выглядеть следующим образом: з ' (-1)"-к — )).
- У ((-1)" — — '" — — ! = (2п)! ~,. в( (2п)!(4п+1) ):, =~~с- ) — — ' —,' (2п).'(4п -1) ( У нас получился знакоперсменнын ряд. Чтобы вычнс;птть ннтеграй с заданной точностью. достаточно найти сумму агого ряда .ю члена. по модулю меньше~о. чем 0.001, ;)аким обраюм. пам н)жно найти г(, удовлетворяю~пес "след) кщ(ем неравенств): (-1)' — — — —; < О,ОО! ! ' ' (2Х)!(4Х !)' .