01 (Ряды (Кузнецов Л.А.)), страница 2

Таким образам, сумма ряда А(х) =- ~~» -- х есть 2"-2 )с - х -1п(1 — х) нри 'хкс1, н не существует ири всех оста2)ьшлх х. Г1олучасм: ! „, 1, ),-- — --- х" = х+(1 — )А(х) = "-2!2(п ...1) х 1 =. х з (1- )(-х --!п(1 — х)).О, х !.1 Ответ; 1 „, 1 — х . (1- К-.х — !22(! - х)) 0 < х: ! п(п '1) х Зад~~а 15 Найти сумму ряда: (и -5)х"' Ркзггсзжим з вот ряд на сумму двух более простых ряпйв. Х„,!си+5)х' =~„'„.„('"'6)х =Х„„,пх'+61;;::4'' Найдем А(х) — — ~~~ пх" . Заметим, цо А(х) есть производная от функции В(х) =- Ъ х"':,:-умноженная на х: с,са:с,;*, В'(х) =- ~~с пх" ' А(х) =- х . В'(х) Сумма ряда В(х) есть сумма 'узбьгвагощей геометрической х прогрессии и ггоигому равна В(х) =-, при условии, что 1 — х )х.-1. Тсггда производнай от'В(х) такова: х'(1 — х) — х(1-;х)' 1--х+ х 1 В'(х) =— (1 — х) ~", (1 — х) - (1 — х) ' 1 х '1 огда А(х) = х В'сгх) = х — — — — — „=- — —, при '1х!<! и не (1 — х) (! — х) супгествует црйиу1 х ~> 1: Х.', =Х (и+5)х';;„-'= Р пх +б~„х = -- — '-,-+6- — =- ° ~~в-О Л~в=э (1 2 х,сг- 6(1;, х) 6 — 5х т1 — х) !1 — х) ~ б — 5х ,,! х,'с! Ответ:,», (и + 5) х "' ' =.

', (1 — х) ,сс,! х ~> 1 9 9 "' " С,',х" 20 20 „,, „2()и 9 (1и22! 1 с, =К- -с« 20 -' !:о Тогда: Задача 14 Разя!2жн2ь !1!тик!(ик! в рял Тс2!Лора по С!сиенам х: 21т«262,! реп!и и,:!.гу задачу, слелуе ! Вас22озльзова !'ься ньбличными разложениями в с2епенныс ря;Эь(: Привелем функдию к нилу, удобному для разлож«нив. 20 1 Воспользуемся табличным разложением лля — --; 1-х «Э 1 9:и '„-"' ';.'1 9 <Э (, +х2и~ 20 .+, -' 20 ~е1,'аб ~ 2(Э 2О ~~ 20 ~ Ряд, полученный йа(!!И, еще не является рядом Тейлора по степеням х.

(',бедует воспользоваться табличными разложениямб, е(цс раз. Для .Этого преобразуем функпию следующим обирЫом: 92 -""-1.х.„х' ' ' 9 «Э — - +-- ~ -- -1х-~-х-'~ 20:.'20 ~~'~ 2! ! 20 20 и ! 20" Вос2юльзуемся ГВОЭ!н'2ным 122! с$ожснигх! л:!я (а! ЬЭ 9 !) ' 1,и сЭ 9 ' " 0 х2х ПОЛО!хны и! -- к + и. Т.к. 1«ипнХ, то 0 < й < пн 0 < и < пз. Из опред«пения й следует. что к < и. Теперь найдем все возможные комбинапии 1«и и, чтобы 2п = 1«! и, где т— ИРоизвольное фиксиРОВеие20е числО., 2пн."и'.

Т.к. 1«< 21и то 'к<(22222), т,е, («и!,„.=~И!!2~, Найдем коэффиниент перед х!и; так как гп раскладывается 1 на сумму и и к несколькими способами, то (.'ии=,) —,- С;,, ма) ' где суммирование ведется ьо всем допустимым нарам (22,'к1. Выразим индексы и н к через пн и — — гп — 'к Итого< " С".х"! 9 9 .

„,„9 'и ~!и 20-х-Х 20 20и,,: „20и' " Ва танга ! 5 Оэ 1 =- ) "'' к ( )Я О 129и !ге ~~» — — '- — -. ж 0,098 п1 2п+1 Огвет: 1 = 0,098 0,001 ~-б)Я О,1га" — — < 0,001 М 2!ч г1 Вычисли|ь ин геграл с точное п,ю ло 0.001: Разложияг подынтегральное выражение в ряд Теййора по х: Так как игггегргпг суммы равен., сумме иитегра~чов, то возьмем приведеггггьФ вьппс гггггеграл почленно. Резульгат будет выглядеть следук~гпим образеоЬг: У пас пгпгу1и!доя знакопеременный ряд.

Чтобы вычислить интеграл с.,ааданпой зо шосгью. достаточно найти сумму зтого-:-ряла:до члена, по модулю меньшего, чем О,ОО!. Такйм образом, пам нужно найти М. »тговлегаорягогпес следМийему неравенству: Искать 1ч будем следующим образозп !а ~ ~=-- 0,002 > 0,00 ! а.,1= 0.000036 < 0,,001 =~ М =- 2 .