01 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Задача 1 1)айти сумму ряда: Х;;, 2 " ' »»» — 14н я 43 1 3 -Х .:.--- 2 1 1'ассмотрим ряд.: ~,„: ) "н-8 2 3 Ответ: ~"'и' — 4 48 2 П!»с»изсзедех» зквивален» пыс преобразования рятй; '» Так как и -14пя48 — !»з-б»Кп-8), сс» пс»лучаещ.'что исхс»див»»3 ряд мь» мо»кем переписатв в слсдуницсм виде:::, 2 . 2 '' ~ ! "'"и' — !4п-. '48 ~"-"(и — 6)!31;-К)': !п-6 и — 8 1 1 1 ~,, 1 — — ---- ) = » »2 — !2 — '--— 2 и — 8 п — 6) "' 2»'п — 8 п — 6' Произведемязамеиу,'»з-8 =- )сз».

тогда суммирование буде» 1 1 производиться от 8 = и-3 =- )п=с) ' = — 9 — 3 — -1. п — — =- —. и — 8 1с 1 Подстцйих» полученные значеги»я в р»»л» ', ~: —.-'» ~"- н — 8 1 ~ 1 ~ ""и 1!роизвсдем аналогичные преобразования н с рядом Х,;,,-- ' *" — — ---. 3о»гда для него замена ', и-6=!с';: " 'п — 6 1 1 начал»нос !с ' и-6 = ! и =-9 ) '-"' 9-6-3, а и — 6 )с 1 Подставим данные в у„ ""и — 6 Итак, мы получили, гто исходный ряд равен разности двух !»Ядов: 31!Да 1а 2 Исследовать рял на сходимос.1!с К' -.- а1й' п~'й П ~1П 1 Обозначим а, а!и Пой и',~П ! 1огда для всех и верно следующее у1"мрлсдеиис: а„~ — - =-, 1И П так как а1п'(й' ):=1. 1 Докажем сходимость ряда: р,', — —:=-.- . '1 огда из его :.' 'й~'и сходимости будет следовать сходимасть 1!сходи!!го ряда, так как тогда он будет;:, офапичеи схо1!янй!ыся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда нсотрицательны).

1 Обозначим Ья =;;",;;, По признаку сравнения 1говорящему, что 1!яд вида У'!':.--- ~~~д~~~~ то:1ько 11ри условии, что а и с!рого болыт))е 1, т.е. а>1, и расходится в Противном 1 случае, г)рн а < 1), ряд у — -= сходится., гак как выг1с111йфется мсловие сходимости: 1.Я>1. ~-а1П й.~й 1ЪцтФму и исхот!и!*111 ~~ -- —;=-- рял тоже схо1й!.1ся. й,/й Ь1П ПМ и 0!вот: ряд,) - сходится. ИсследОВать ря;1 !га сходимос Гь: :); ч и(! — соя — --) Р-.~ п'-1 Обозначим а,, =!п(1- соя-----) и !! 1 1 Прн и -+.и соя — — =1- -- — — —, тзоэтнму сходимость !3+! 2('и+ 1) исходного ряда зквивалентна сходцмости следу!о!Иет о ряда: Г 1 . ~-:.'ь 4п ~- 1,с-' 1 2(п+ 1)' ' "'" 3(пгь1)! ' '2п" "' и"" ! Докьокем сходимость ' рдда,7, — —,—,; . Тогда из сго сходимости будет сУ!едова!ь сходимость исходного ряда, так как тогда он::,„будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем с!ёпу (все члены ряда нео!рибате!!Ьны).

1 Обозначим:::.. )з„= --,;;, По признаку сравнения 1 (Говорящеь~~".! ч!О ряд Вида ~,— сходится только при 'п условц!!„':ч!х! а с!рого больше 1, т.е. а>1 и расходится в прогннном слу ге, при а<1) ря„! 2 ' --,— „. сходится, так оз и! как'.ныло.'н!Яется условие сходнмости: 1,5>1.

'''Позтому и исходный рЯД з Я п(1- соа-- — ) го"" 1 п+1 сходится. ! Ответ: ряд з ";:п(1 — соа-- ) сходится. и+1 Зала га 4 Иссг!едоват!. рял на сходимост!и 1 » ! 2" (и--1)! 1.п 1 Об!!.'!на»п!м ае '- " — ' — — — ~ —, 'гак! к!!Г*; (и" ! )! р!!степ 2";п — 1)! 2 ' быстрее»гем (п -1) при и --? ес Докажем сходимость ряда г~г,.'„' ' (.-)" . 1'огла из его ! '2 схолимостн будет следовап схбпимость и х »диого ряда„ зак как тогда он будет"о(раничен сходягпимся рядом сверху и нулем снизу (все!»»!Миы ряда неотри!!агс!и н!»!). 1 „ ' (.

)" есн»:;:;.сумма оескопсчнои убыва!о!пей »=! ? геометрической ', арохгрессии» которая ~аходнтся по формуле ? (Ь~'г~' ) =- Ц ц !< 1', =. 1- с) 1„:::,,122 ,'? ' (-)" '-.-':-:-: 2::, г) — 1!2 1~:п .Гогдаа!сходи!»и» ряд ? . - — — "!'оже сходи гся. „, ! 2'('п — 1)! 1-г и ()!вег; ряд ? - сходится.

.. ! 2»(п — 1)! Задала о Исследовать ряд па сходимостгс 1г и 1 Воспользуемся признаком Коши: Если !пи,'~'а„<1, то ряд,» а„- сходится. й — ~Ж в 1 г —" Если 1пп 1а„ > 1, то ряд ~~» а, расходится. ь~. ~ !пп "~а„=- 1пп-~ — — ~ м:-:-11ш~1+ — ! = — <! ,;-.», " О ...3 д " 1В,+ю и Таким образом, ао»тфизиаку Коши исходный ряд является сходящимся. 1:» и Огвет::,!':.' —, —, сходится. „= У,п+1/ 1 ,х~, а „., и !п1(3п -1) сходится., а если !!(х)с!х Рассмотрим еле!!ук!п1ий ряд: Х ------- - =ХЬ „, (Зп 1-1) !и (Зп+1) Задача 6 Исс1!СдОВВ1 1. Ря1! !га сх51дихи5С11,: 1)ос1зользуск!ся нре„.!Слвным прн'и!ахом схо.'.!Нмоечи.

Если '!Ва РЯ:!а „)' и и ~ !5 у'!015ле!'ВОря1ОГуе,'1ОВ1!ю' и:! и„ !!!и —" =: !'., где 1. конечное число, не;.'равное О„!5! ряды ь, У 51, и 5 !5, сходятся или р!!скот!5!гся:идноврсмеино. и=! ~.1 1ип — '-' =- 3 — это коиечиое число, ие равное О Ь,, Значит. ряды' ~)51, и,) Ь,, сходятся или расходятся От!5!о!!реме!1ир Дг!я 1!се5!Сдовання сходнмостн В'!ОНОГО р51да В!зспо1!Взуея!ся интсгральныч приз!!ахом схолимостн рядов. Если некогорая функция !(х) удовлетворяет условию !(и)=!1„, го если )5(х)дх сходится, то и ряд „> Ь, ! расходится, Рассмотрим следу!о!цу!о функцию: Если )1(х)!!х сходится, то и ряд ~~> Ь„ сходится, если интеграл расходится, то и ряд ~~5 Ь„ расходится. дх 1 !Й1п(Зх+ 1) 1 1 ! 1 !(Зх 1)1 1(3. !) 3/! '(З~'!) 3! (зх 1)~1 3! 7 Интеграл сходится, значит и ряд ~~) Ь„сходится.

Из Н ! сходимости нго1 о ряда следует сходимосп, исходного. 1 !Зтвсг: ~5 — —; -- -- сходится, „., и! и (3 и 5 1) Задала 7 Исследовать ряд на сходимость; 2п -1 ;> (-1) ' =' —— а-~ п(п - 1) Воспользуемся при~ником Леиоиииа: если ряд у (-1)' а„удовлетворяем условияМ, ~'. 1 1) а, моиотоиио убывали(ая, иаиииая с:~еяоторосо и =- Х 2) 1цпа„=-О,то ряд 7 ( — 1)" а, сводится,. й2п +! Рассмотрим а,, =- — — — при и''! '( -1) 2п+3 ап„ь! 2п' и Зп — «2п+1)(п+2) С '!)( -2), ( 1) ( +1)( 2) 2(п — 1) -еф ' п(п+ 1)(п+ 2) 2п+ 1 Следовательно. а„= — — — — убывает.

п(п ~1) 2п+1 1гп- ---.---. О " п(.ц'+:1,) 2п ь1 Зйачитряд ' ( -1)"' -- — — сходится по прививку п(п+1) Лейбница. 2п -,! Отвес: ряд у (- 1)" '--- — — своди~ел. п(п -1) За»та~~а в !3ычнслить сумму ряда с точностью сс = (-!!"' — — а = 0,01 3н' Обозначим п-ный член ряда, как а„: (-1)'"' а, я Зп Чтобе»! вычислить сумму рядй Ь...

зйдйнной точностью, следует принять во внимание то„: !!»зц! члены ряда с ростом и монотонно убывают. '1'огла нам,требуется найти сумму ряда до М-го члена, гдс !!»таково, что для любых п>Х выполняется неравенство (ар! ф Найдем Х: !а,! = 0»333 > а ',а,~ =0033 >и ,а.,(1 = 0»037 > а а,(=0021>н - ' ,а„.' = 00!3 > и ,а,! = 0,01!»9 ~:(к =-~ о( =- 6 ! 1айдеь(':еумму ряда до 6-го члена: 13нвет:,'! — -:-;- = 0,27 =". 0,01 " (-1!" и Зала'!а О 1-!айти область сходимости ряг!а: , й х 1 х' Обозначим а, = -- —.

- ", а искомуго оййетль!скос!имости х' ь1 ряд!! Х. !!ус !ь !! х (> 1! с —.. Х, инда г1!,"!тувим, гто ири И вЂ” + СС: Х вЂ” ~ ьо =Ф и,, — + 1. С!!~.",[О!Зня~",.1Ьно, ряд раСХОднтея на данном множестве !) х !> !! '!!Исобхо!диыыы условием сходимости рида является стрем!!ение а„к нулю при с чрсмлении и к бесконечиос!и) 1 При х — 1! ряд явно расколи'гся: ~ б:! х " ! ! й Ф"*~:.! э ! !уст! 1~ х ~<!', с. Х. тогта:сделаеы замену переменных: 1 х = —., тогда ~ !!а 11 ~э)':: По;!ставим ! вместо х в ряд: 1' 1 1! .=У' ' — = °" - — У х' — '',„!" <-» 1 э- 1 ! ! -«У .„-,; =-~ = ! - = ': —,,! ~ и-,т— +! !— !" Пс!лучном;:-:Мто для любого фикснроваиного х а ', х,< 1! .х": -:: „1 ,'>;.: -'--.

ограничен вели !ипо!1, и поэтому ряд '-.' х".,,+! х' — ! схФ>т!Йтся. Чаф:.' как мы ароверг!!!и Вс!.' Возмогяныс х на нрниаллежнос гь области схолимостн. то. в итоге. Х вЂ” -1 х ,'<1',. Ответ: об кисть схолимости Х =- ',! х !<1,', За.~ача 1О 11айти область сходимосги ряда: (и -2)' — — — - — -(х+ 3)'" . 2п.~- 3 Г1ривсдем зтот ряд к степенному виду. Х,- а„.х', гле а,. не гависит от х и являеаая постоянной 1,.л величиной.

ж- )' 11вюжим а„. =- - а„,„=-() -":тогда исходный ряд 21+3 * могкио переписать в виде: ,) -' — — (х+3)" =-~:""а (х+3) . (л 2) и "-- ь 2п+ 3 ь л Используем формулудля нахождения радиуса сходимости, основаннуго на примМеиии признака Коши: 1;::-:;,, ' 11 2)с + 3 1с = 1пп-=.

=,г1юп,'тя 1 — — —, а .~ж „,~~ ~',-'~ю, (1~ — 2)з а (21г -> 3)" " 2)з~зг !пп621с,+л) з 1 1ип фЪ -,. 2)" " г,, -1 < х ~- 3 < 1 =э х а ( — 4; — 2) Огвст; Область сходимости ряда Х = ',х н ( — 4:-2)1 Гаким;:рбразом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следутолгим образом: 5" — ---)" "н н х' -бх+13 Гогна: ЗВВГша ! 1 1-!ш!ти ООласть сходиыости ря;ш: 11риведеяГ атот ряд к степснному. Г,с.

к вид)к: ~»Г, а х ~де а„не аависит От х и является 1гос~тояшГ~Й:.Ве»уи»ГГГНОЙ, Положим а --- — тогда исходный Рктгхможно пеРенисагь в виде: 1,-, -,-.: 1 :Е„,-- -1---- — — -)' = ',~. а 1-::-... )»» -' -бх+13) " " 1: ' — 6, +13) Теде)и» иам т1тебуетсЯ найтГ»» )1гн»»»,' и, »»-, г — —,;"- ! 5" -, 5 5 1!Гп:.ф а„', = ОГО ", ~ — ',чи,!1п1 =- = -- ---= !)оспользуемсяаледукнГГим рва~нотном Йт1,а):+Ь =-1;-'» Где а и Ь постоянные числа, а>0.

Ч аким обрааом» ио теореме !Оопп -. д~ р' » Г; 1-Л» ама а, область 1 1 1 сходимости Х =- !! - — „---- — — „- ~< -- = — ) . ' х" — бх+13 1. 5 Решим нераВсеГстВО. чтооы В яВКОм Вид е за|тнсать область сходимости: 1, 1 ~,'х -бх-113;>5, — — --- - 1< — <=> ~ — бх+13 5 ~х — бх+13~ О; Решим уравнение х — бх +13 =- О: 0 = 36--13 4 = -16 '.

0 '1'ак как дискриминаит меньше нуля. то: х' — бх+13 > О.'Фх и К. х' — бх + 13 > 5 с> х — бх + 8 > О е> (х — 4)!х — 2) > 0 =~ Ответ: область сходимости Х = !-со,2) и1, ). '4 +и1. х- 1 Обозна ьнм А(х) =-,— х 1 "2 п(п-1) 1,,,~ - 1 ))н "'и— Для рида ~~»,— х' ' ". Задача 12 1!ай! н сумму Ряда; Произведем то»кдественные преобразования ряда':::, — 2.„ ,-) х ' 1 1 ))- "»п(п — 1) "- п — 1 и' 1 Теперь преобраауем ряд ~,,—. х ' ' в зквивалентный: ': 2и: — 1'::: --- — х" ) = (и -1 =- )22).--.',2 ' .,--- х "2п — 1 , )) .

) ! „, 1- 1„1::1 '--'И Хе";в"'и Х 11одставнм ~феобра)ова»2»2»ле рялм в 2)схолнми ряд 1 „, -. 1, 1 ', 1 ~~», —: — '-" '' х" =- ~~),,— х' — — ~~»,, - х" =- )21п — 1) '"' 1 х 1, ! . 1 „1 .-, 1 ) =-(хз-~ — х))- — ~ --х" -х~(1--)~ ' х" )-2 й х ).2)с х' ).2 1с "".' 1'ассмо 2)зим производит)о А'(х) . А')х) =-1~ - х')' — — ~~ х" ' = — х-- '2й ' 1-х (С'умма убывакипей гсомстринеской прогрессии). Ряд оудет сходиться при !х!' 1. х гх '-1 — 1 А(х) =- ~ — '— ))х =.~- ))х.= -1-х 1 — х г 1 = ) - Ых+ 2!---- ))х == -х — !п(1 -- х) — С 1 — х 21)об»ь) найти константу С, н2»йдем ана )ен»)е ряда в неко )арой Фиксированной точке х, возьмем х "- О, то)д22 А(х) .— 0 -- С.