2-319-1399886842-38 (Достаточные условия перегиба графика)
Описание файла
PDF-файл из архива "Достаточные условия перегиба графика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 38. Достаточные условия перегиба графика функции.Достаточное условие точки перегиба.Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, бытьможет, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходечерез точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.Доказательство.1) : x ( x0 , x0 ) f ' ' ( x) 0x ( x0 , x0 ) f ' ' ( x) 0либо2) : x ( x0 , x0 ) f ' ' ( x) 0x ( x0 , x0 ) f ' ' ( x) 0Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервалавыпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концоминтервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точкаперегиба.Замечание.
Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит вышекасательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.Теорема. Пусть функция f(x) обладает следующим условиемнепрерывна в точке x0 ивниз, еслиf ' ' ( x0 ) .... f ( n) ( x0 ) 0, f ( n1) ( x0 )f ( n1) ( x0 ) 0 .n-четное y= f(x) выпукла вверх, если f ( n1) 0 и выпуклаf ( n1) 0 , n+1-нечетное- точка x0-точка перегиба.Доказательство.f ( n 1) ( x0 )f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n 1 o(( x x0 ) n 1 )(n 1)!f ( x) y кас f ( n 1) ( x0 )( x x0 ) n 1 0(( x x0 ) ( n 1) )(n 1)!n+1- четное следовательно положение функции у нас зависит только от производнойN-нечетное y(x)>y(кас), еслиf ( n1) ( x0 ) .f ( n1) 0 .
y(x)<y(кас), если f ( n1) 0 , точка X0-точка перегиба..