2-317-1399886717-36 (Экстремумы функции. Достаточные условия)
Описание файла
PDF-файл из архива "Экстремумы функции. Достаточные условия", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.Теорема 1. Необходимое условие экстремума.Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), тоf’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.В точке х1 – min; в точке х2 – max.Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x)при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, приэтом 1)если при x0 x x0 , f ' ( x) 0 , а при x0 x x0 , f ' ( x) 0то в точке х0 – минимум.
2)если приx0 x x0 , f ' ( x) 0 , а при x0 x x0 , f ' ( x) 0то в точке х0 максимум.Доказательство.Докажем 1) f ( x) f ' ( )(x) .Теорема Лагранжаf ( x) f ( x0 ) f ' ( )( x x0 ) . а) Если х-х0>0f ' ( ) 0, тоf ( x) f ( x0 ) f 0 . б) если х-х0<0 и f ' ( ) 0, тоf ( x) f ( x0 ) f 0 , т.епри переходе через точку х0 f не меняет свой знак: f >0, т.е точка х0-точка минимума.и2)Доказательство аналогично.Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причёмf ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) ...
f ( n1) ( x0 ) 0, f ( n) ( x0 ) 0. Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, иеслиf ( n) ( x0 ) 0 min . f ( n ) ( x0 ) 0 max . Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0точка возрастания. Еслиf ( n ) ( x0 ) 0и точка убывания,Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существуетминимум,еслиf ( n ) ( x0 ) 0 .f ( k ) ( x0 ) , то, если f ( k ) ( x0 ) >0, то в точке х0f ( k ) ( x0 ) <0,то в точке х0 максимум (k=1).Доказательство.Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.f (n) ( x 0 )f (n) ( x 0 )( x x0 ) n o( x x0 ) n или f (x) n o(x) n знак fn!n!определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак f зависит от знакаf ( x) f ( x0 ) f ( n) ( x0 )((x) ( n ) 0) .
По этому, если f ( n ) ( x0 ) 0 то f >0 – минимум. f ( n ) ( x0 ) 0 то f <0 –максимум. Если n – нечетное, то знакf зависит от x и f ( n ) ( x0 ) , т.е. при переходе через точкух0 знак f меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.Следствие.f f ''(x0 )(x) 2 o(x) 2 . f’’(x0)>0, f >0 – минимум; f’’(x0)<0, f <0 – максимум.2!.