2-316-1399886645-35 (Условие постоянства функции. Условие монотонности)

БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.На рисунке нарисован график L функцииy  f (x) , всюду имеющей производную. Вточкеx1 касательная к L и ось Ox образуют 1 , поэтому ее угловойкоэффициент, равный tg 1 , положителен. Ноf ' ( x1 )  tg1 . Следовательно, f ' ( x1 )  0 . Иострый уголтак будет в любой точке интервала(a; x2 ) , гдефункция f (x) монотонно возрастает.Напрашивается вывод: если на интервалеy   0 , то на этом интервале функцияx3 касательная к L образует с осью Ox тупой угол  3 ,поэтому ее угловой коэффициент, равный tg  3 отрицателен.

А так как f ( x3 )  tg 3 , тоf ( x3 )  0 . Вывод: если на интервале y   0 , то на этом интервале функция монотонно убывает.монотонно возрастает. Далее, в точкеВ точкеx 2 функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к Lпараллельна оси Ox , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что f ' ( x2 )  0 .

Приэтом слева от этой точки y   0 , а справа y   0 .Теорема (достаточный признак монотонности).1). Если f ' ( x)  0 на отрезке (a; b) , то f монотонно возрастает на(a; b) .2). Если f ' ( x)  0 на отрезке (a; b) , то f монотонно убывает на (a; b) .Доказательство:Возьмем любые числаx1 и x 2 , причем x1 < x 2 , из интервала (a; b) . По формуле Лагранжаполучаем: f ( x2 )  f ( x1 )  f (c)( x2  x1 ) , x1  c  x2 , и поэтому c принадлежит интервалу(a; b) . Так как x2  x1  0 , то в первом случае f ( x2 )  f ( x1 )  0 , то есть f ( x2 )  f ( x1 ) , а вовтором f ( x2 )  f ( x1 )  0 , то есть f ( x2 )  f ( x1 ) , что и требовалось доказать..