2-315-1399886587-34 (Формула)
Описание файла
PDF-файл из архива "Формула", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.Формула Тейлора.Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x 0 , тогда y x (x) , гдеy y y0 ; x x x0 ; f ' ( x0 ); (x) -бесконечно малая более высокого порядка чем x .y y 0 f ' ( x0 )( x x0 ) (x), где P1 ( x) линейная функция, причем P1 ( x0 ) y 0 .y P1 ( x) (x)Можно расписать, чтоy( x) P1 ( x) o( x x0 ) , т.е в окрестности точки x 0 функция f(x) ведетсебя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n,который обладает следующими свойствами:f ( x0 ) Pn ( x0 ), f ' ( x0 ) Pn ' ( x0 ), f ' ' ( x0 ) Pn ' ' ( x0 ), f ( n) ( x0 ) Pn( n) ( x0 )МногочленPn (x) будем писать в видеPn ( x) a 0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 ...
a n ( x x0 )nPn ( x0 ) a 0 f ( x0 )Pn ' ( x0 ) a1 f ' ( x0 )Pn ' ' ( x0 ) a 2 f ' ' ( x0 )Pn ( x0 ) a n f n ( x0 )nпервые равенства получаются путем дифференцирования формулы дляPn (x) и подстановкиx x0 . Вторые равенства - это требуемые свойства an ( f n ( x0 )) n! .f(x) у которогосуществует производная до n порядка включительно можно найти коэффициентыf ( k ) ( x0 ), k 0,1,2..k!nf ( k ) ( x0 )kМногочлен Pn (x) , a k , P n ( x) a x ( x x0 ) многочлен Тейлора для функции f(x).k!k 0rn ( x0 ) f ( x0 ) Pn ( x0 ) 0ak rn ( x) f ( x) Pn ( x) rn ' ( x0 ) f ' ( x0 ) Pn ' ( x0 ) 0ОбозначимrnРассмотрим функцию(n) ( x) ( x x0 )n( x0 ) f ( n ) ( x0 ) Pn(n)( x0 ) 0и вычислимrn ( x) 0 r ( x)rn ' ( x)rn ' ' ( x)0 lim n lim limnn1n2x x0 ( x )x x0 n ( x x ) 0 x x0 ( x x0 ) 0 x x0 n(n 1)( x x0 )0lim limx x0rn0 0 ...
(n)( x) rnn ( x0 )r ( x) 0 lim n 0 rn ( x) o(( x x0 ) n )nxx0 (x x )n!n!0Т.о получимf ( x) Pn ( x) o(( x x0 ) n ) , rn (x) остаточный член формулы Тейлора.Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу(a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогдаf ( x) Pn ( x) o(( x x0 ) n ) , гдеf ( k ) ( x0 )P n ( x) a k ( x x0 ) , a k k!k 0nkЕдинственность многочлена Тейлора.Пусть функция f (x) представлена в окрестности точкиn b x x , тогда bk 0kk0kf(k )( x0 )k!x 0 многочлена видаДоказательство.f ( k ) ( x0 )Если f ( x) a k ( x x0 ) , где a k её многочлен Тейлора и есть у нас другойk!k 0nknмногочлен bk ( x x0 ) kk 0nnk 0k 0 ak ( x x0 )k bk ( x x0 )k надо показать, что коэффициентыодинаковыa0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 .....
an ( x x0 ) n b0 b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 ) 2 ..... bn ( x x0 ) nПустьx x0 a0 b0 сократим на x x0a1 a2 ( x x0 ) ... an ( x x0 ) n1 b1 ..... bn ( x x0 ) n1 . пусть x x0 a1 b1 сократим наx x0 и т.д. an bn многочлен Тейлора единственен..