2-314-1399886521-33 (Правила Лопиталя раскрытия)

БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.Правило Лопиталя.0 , ,   ,0  ,1 .Пусть f (x) и g(x) определены в0 окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а и lim f ( x)  lim g ( x)  0 . И пусть вДля раскрытия неопределенности видаx aокрестности точки а существуютx af ' ( x), g ' ( x) . Если существует limf ' ( x)f ( x), то  limи этиg ( x)g ' ( x)x ax aпределы равны.Доказательство.1) а - конечное число.

Доопределим функцииf (x) и g(x) в точке х=а, по непрерывности:f ( x) f ( x)  f (a) f ' ( )f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение. Здесь a    xg ( x) g ( x)  g (a) g ' ( )(использовали теорему Коши). Перейдем к пределу приlimxaf ( x)f ' ( )f ' ( ) lim lim(т.к a    x и если x  a , то   a ).xaag ( x)g ' ( )g ' ( )x a2)f ( x)  f (1 / t )   (t ) f x' xt'  t'иg ( x)  g (1 / t )   (t ) g x' xt'  t'a   надо сделать замену, x=1/t, тогда t  0 ,правило применяется к новой функции (t ), t  0xt'  1 / t 2 .Теорема 2.Пусть f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки а иlim f ( x)  lim g ( x)   .Если  lim f ' ( x) g ' ( x) , то  limx axax af ( x)и они равны.g ( x)x aЗамечание.В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобыg ' ( x)  0 .0  0  -теорема 1 доказана.    -теорема 2 формулировка. 1   0  0 1    2   0  ln 1 e 0     1     0     1     1  e 02    0 1    1   2    1 011   0 2  01   0 .0 2   0 2 01   0 Пример, когда нельзя применять правило ЛопиталяВычислим предел отношения производныхlimx x  sin x   .x  sin x   x  cos xон не существует, т.к.

не существуетx  x  cos xlimпредел числителя и знаменателя. Правило Лопиталя применять нельзя.x  sin xlim limВычислить. x  x  sin x x sin xsin x)1x  limx 1x sin xsin xx(1 )1xxx(1 .