2-312-1399886399-31 (Теорема Лагранжа (формула конечных)

БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).Теорема Лагранжа.Пусть функция f(x)-непрерывна на отрезке [a,b];-дифференцируема на интервале (a,b);Тогда   (a, b) : f (b)  f (a)  f ' ( )(b  a) (формула конечных приращений)Доказательство.Рассмотрим функциюF ( x)  f ( x)  x .Параметр  выберем из условия F(a)=F(b)f (a)  a  f (b)  bf (b)  f (a)f (b)  f (a)   (b  a)baФункция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, каксумма непрерывных и дифференцируемых функций )   : F ' ( )  0 F ' ( )  f ' ( )    0f ' ( ) f (b)  f (a) f (b)  f (a)  f ' ( )(b  a)baГеометрический смысл.В предположение теоремы существует точка  :касательная к графику функции параллельнасекущей(хорде).Следствие.Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b).

И в каждой точке интервала (a,b)f ' ( )  0 , тогда f(x)=const.Доказательство.Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогдаf ( x1)  f ( x2)  f ' ( )( x1  x2) , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию f ' ( )  0  f ( x1)  f ( x2) , т.е f(x)=const(всилу произвольности выбора x1 и x2)..