2-309-1399886214-28 (Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого)
Описание файла
PDF-файл из архива "Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.Производная сложной функции.Пусть функция y=f(x) имеет производную в точкеx0 ,а функция z=F(y) имеет производную в точкеy0 f ( x0 ) , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке x0( x0 ) F ( y0 ) * f ( x0 ) .Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точкиx0 , функция F(y) непрерывна вокрестности точкиy 0 , поэтому в окрестности точки x0 существует сложная функция Ф(x).ФункцияF(y) имеет производную в точке y 0 , поэтому она дифференцируема в этой точке.F F ( y0 ) * y (y) (\/) (y) 0приy 0 -бесконечно малая более высокого порядка, чем y , но (y) может бытьнеопределенна в точке y =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0 : (0) 0 .Разделим равенство (\/) на x :Fy y F ( y 0 )xxx ( x)y (y) yF(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде.
Перейдем F ( y 0 )*xxyxк пределу x 0 ( x)y (y) ylim lim F ( y 0 ) lim* F ( y 0 ) * f ( x0 ) 0 . окажем, чтоx 0x 0xx x0 yx (y) ylim* 0, т.к.f ( x0 ) , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки x0 , т.е. lim y 0 (x 0x 0 yx (y ) (y)x и y стремятся к 0 одновременно), т.е. lim lim 0 (т.к.
(y) бесконечноx 0 yy 0 yyмалая более высокого порядка, чем y ), а lim f ( x0 ) , т.о. получим формулуx 0 x( x0 ) F ( y0 ) * f ( x0 ) .Инвариантность формы первого дифференциала.Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции надифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной илизависимой.z-независимая переменная , y-зависит от xz ( x)dz ( x0 )dxz ( y )dz ( y 0 )dyЕсли y=f(x), тоdy f ( x0 )dx и dz ( y0 ) f x0 dx ( x0 )dx2.x , x 0, x e ln x( x ) (e ln x ) x 1.