2-307-1399886077-26 (Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной)
Описание файла
PDF-файл из архива "Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функции.Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точкиx0 .Если ее приращение f (x)f ( x) * x (x) ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точкеx0 (иногда пишут f ( x) * x (x), где (x) -величина более высокого порядка, чем (x)x, т.е. lim 0 а это означает, что x x )x 0x * x -линейная функция от x .Она называется дифференциалом функции f(x) иобозначается df ( x) * dxможно представить в видеПример:y x2y x x x 2 x 2 2 xx x 2 x 2 2 xx x 22dx 2 2 xdxКритерий дифференцируемости:Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точкеx0 необходимо и достаточно,чтобы существовала производная в этой точке.Доказательство:1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точкеx0 это означает f ( x) * x (x) .Разделим это равенство на x и перейдем к пределу x 0f ( x)x (x) (x)flim lim lim lim ,т.е.
существует lim , т.е.x 0 xx 0x 0x 0 xx 0 xxпроизводная существует.f ( x)f ( x) f ( x0 ), т.е. f ( x0 ) (x) илиxxf (x) f ( x0 )x x (x) f ( x0 )x (x) , т.е. f(x) дифференцируема в точке x0 .Итак, f (x) f ( x0 )x (x) , т.е. df ( x) f ( x0 )dx .Отсюда следует новое обозначениеdfпроизводной f x0 и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частноеdx2.Достаточность.
Пусть существуетlimx 0дифференциалов.Понятие производной функции.Определение: Производной функцииy f (x) в точке x 0 называется пределf ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ). Очень удобна более короткая запись для этого предела иx 0xyболее короткое обозначение для производной lim y .x 0 xlim.