2-296-1399883075-15 (Первый замечательный)

БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.sin x1x 0xlimДля доказательства возьмем вектор OAC окружности радиуса 1 сцентральным углом, равнымx (радиан), 0  x 2и проведемBC  OC . Тогда пл.  OAC < пл. сект. OAC < пл.  OBC или1111sin x  x  tgx . Разделив все части этого неравенства на sin x > 0, получим2222x1sin xили 1 1 cos x . Это неравенство, доказанное для любых x из интервалаsin x cos xx(0; ), верно для любого x  0 из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это22 2неравенство.Докажем, чтоlim cos x  1x 02xx2 x2( 0  1  cos x  2 sin) при x  02242sin xА раз lim cos x  1 и lim 1  1 , то lim 1.x 0x 0x 0xКроме того:limx 0sin x  y   x  sin y1 = limy0xyx  y.