2-284-1399881713-3 (Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограни¬ченность сходящейся)
Описание файла
PDF-файл из архива "Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограни¬ченность сходящейся", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
БИЛЕТ 3. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченностьсходящейся последовательности.Определение: функциюD( f ) N называют числовой последовательностью.xn (an , bn ,...) - члены числовой последовательности.n - номер члена числовой последовательности.xn или x n , n Nx n = f (n) , n N -общий член.a называется пределом последовательности a n (пишут a lim an ), еслидля любого положительного числа ( >0) можно указать такое число N , зависящее от , чтоa n a для всех n N .Определение: ЧислоТеорема: (о единственности предела): Еслиan -сходящаяся, то предел единственный.Доказательство:Пусть a lim a n ,b lim an , a b .Для определенности a b имеем: 0 N1 ( ) : n N1 ( ) a n a 0 N 2 ( ) : n N 2 ( ) a n b baba b a 0 N max N1 , N 2 n N .2 2 2 babaan a an b 22abbaabba< an a < an b 22223a babab3b a< an .< an .2222Противоречие.Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Еслиограничена.an - сходящаяся Возьмемa : 0 N ( ) : n N ( ) a n a . =1 n N (1) a 1 an a 1 .ОбозначимM maxa1 , a2 ,..., an1 , a 1 , тогда n a n Mm mina1 , a2 ,..., an1 , a 1, тогда n a n mОтсюда для обоих случаевn m a n MЗамечание: обратное не верно.an -сходится, то она.