2-239-1399756134-1 (Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательство критерия линейной)

Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательствокритерия линейной зависимости 2х и 3х векторов.Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство1а1+2а2+…+лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2,…, л=0 и RОпределение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2)выполнимо хотя бы при одном i0 (i=1,…,k)Свойства1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима2.Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будетлинейно-зависимой.3.Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейнонезависимой.4.Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинациейдругих векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельныхплоскостях.Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдетсятакое действительное число , что b=a.Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что быони были коллениарны.Доказательство: достаточность.

Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0(если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то системалинейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0,0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобыони были компланарны. Необходимость.Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны.

Доказательство: т.к. векторылинейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональпараллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.Если они компланарны то можно построить паралелограмм..