Галкин С.В. Математический анализ (2004)

3 Приведем доказательство для возрастающей последовательности. Так как послеловательность ~л ограничена сверху, существует ее точнаЯ ВерхнЯЯ Грань а = $Щ) х„. Зададим ~й > О. По свойству точной верхней Грани найдется такОЙ элемент последовательностй х~~, что Й вЂ” е <ху < Й. Поскольку последовательность возрастает, то Ъп > Ж =Ф Й вЂ” е < ху <х~ < Й. СледОВательно, Выиолнено нера- Венство х и рмтк.'1у .уы второго замечатель- кажем, что ~)ЙНИЧЕННЙ НЕЧНЫй ПР 1. нОгО предеЛа — числа е: лекции 6, 7 Рассмотрим ОкрестЯОсти Различных точек и пОЯсним смысл стремления перемсннОЙ к точке.

1. х -+ х О, хо — конечная точка. Обозначим ее окрестность дву- СТОРОН НЮЮ О. ТОЧКИ ~НКЦИИ НО КО х — Ь е >О:О< пр<:",ог..~л ~ 'чн~ж луг~)ела или предела справа — так: хо — О ФФ х — Ь х~» — О <х < ХО Б качестве проколотой -окрестности точки ~) и в-окрестности ТОЧКИ ~~~ ПОИ КОНКРЕТНОМ ВЫ60РС ЭТИХ ТОЧОК ХО + с'о ... И Т. Д. ВЫСй";ЗЮ*ГСЯ ОКРЕСТНОСТИ ПО ТИПЗМ П. 1 — 6. Замечание.

Проколоты окрестность ГЬ~~) точки ~ отлич сти Г~ ' ) только в случае конечной точки «и. 11. В остальньи сл окрестности совпадают, так как точка *, по определении, не пр нос~. и. х = Ь<=>'Е~: О 3 х-ФхО+ О е >О: хО <х <хо+ Общее определеиис предела СЫГЫ Б СЛОД'~ЮЩОМ ВИДО; при х — ~ О, который называют первым замечательным Так ЗХ< щестВяВзния х. Тогда 1ип ак предел слева и предел окажем спраВедлиВость 31Й Х СОБХ пределОм: 1.

Пусть х>О. Рассмотрим круг радиуса. Отметим на нем угол х радиан, стягиВЙюГ~ х радиан, Б10х и 1я х. енство мах < х < ~д х. е- лекция 8 х Ь-дх а= Это Разность двух ункций, к ая из которых представляет собои произ веление б.м. на постоянную, так как х — и д х — Ь вЂ” б.м.

при х — + хо по теореме о связи ункции, предела и б.м. Следовательно, числитель выражения 1 — б.м. при х -Ф хо. ТОГда выражение 1 мОжно представить как прОизведение этой б.м. на ограниченную ОТОРОЙ ОТ$)ИМ еделе- УО Хо = 1~т Ьх — >О 3. При произвольном движении ~с переменной скоростью) Х ф гра яка Сх, х циент: Г~омВ~ричес~ий ~м~ ~сд ИРОи~воднОЙ понятен из Рассмотрения уя:кции рис. 7. Точки гра ика А хо, хо, В х, являются вершинами прямоугольного треугольника, если провести секу~цую гра ика АВ. Вычислим ее угловой коэ и- Где Лх = х — хО.

ля того чтобы показать, что ироизводная является ТОЙ точки, в котОРОЙ она Вычисляется, часто пишут ПРОИЗВОДНАЯ лекция 12 вЬх ния частного.

<3 Элементарные ункции могут быть получены из основных элементарных ункций с помощью четырех арифметических действий и композицией ункций. нее доказано, Что основные элементарные унеции ди еренцируемы В области их Определения, ункции, полученные указанными действиями из ди еренцируемых ункций, т е ди еренцируемы.

Поэтому элементарные унк- ции ди еренцируемы в области их определения. Р Любую элементарную ункцию можно ди еренцировать. Более ТОГО, Результат ди еренцирОВания не Выходит и3 класса элементарных ункций. Следовательно, ди еренцируя элементарную ункцию, мы получаем снова элементарную ункцию. ункцииу х =хе '.

ун~цийу ~ =и ~ ~Н КЦИ И. ПУСТЬ жно, если определена ункция аметрически, то для того, чтоОЛЬНОМГ~ Х ПОСТавИТь в СоотвЕТ- ть У 1 . ПОэтому должна быть Поэтому вторая производная — это производная первОЙ производной, третья производны — это произВОдная ВТОРОЙ производной и т. д, Вычислим, например, и-ю производеГ~ю зидиннОЙ Х ит. д. Вычислим ди т того, является или не является пере- угой переменной.

С ди еие От первого ди еренциВ- ен циало В, О ди еренцизл3. к квздрй- существует предо Х)" В ТОЧКСХ = О. й предел). енность О возникает, если 11ГЙ х =О 1пп Я ~ Х вЂ” ФЙ Х-+ Й х = -оо, и при вычислении Ь х вОзникает неопРеде- ленность Вила О Итак, во всех рассмотренных случаях возникает неопределен- Если щ=, то 11т Р(х = О.

Если и=+ ., то 11т Р' х =-. Если Х-Ф Й Х вЂ” >Й НООЛРОделснность Оо и = О, то 1ит Р"~х = 1. возникает, ссдй 1ип НОГОЧ ПСНЙ )) и оста- ОСТИТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В интсрВЭЛ лы ТсйлО Подставляя в это выражение Г(х орме Пеано: ) о + Я„(х 0)+ ' 0)х+ ормулы Маклорена.

ЕГО можно пОл ~- ормулы Тейлора В Ормс Пиано или ГЛе М х — остаточный член Х ДИ Х Хо монотонно ~бы Вает. ПОСЛСДОВЗТСЛ ЬНОСТЬ И вЂ” бЕСКОНЕЧНО МЗЛЙЯ нйя, так как — бесконечно малая при Величина Я„х = О. Если остаточный член записан в ор- , то очОВидно, что 1101 Л =О (Х вЂ” Хр а Покажем сначала, что аппп п=.О, то <О,ОО1.

Если О,З орм~'лой редставив ее го мини а ункции с заданной точностью е * можно вычислить по следующей Ор муле: знзчение О,1736 . 2. Вычислить 8 О,З то Я2 < >О 001 ° О,З 2 О,З з =О, то хо, и точка х является >О, то х >О„и то- точка, то ' хо = О. Применим теореремы следует, что х — точка экстремума > О, то х — точка минимума ункции — точка максимума ункции х . ~ Если п нечетно, то при переходе аргумента через точку х х — хо " меняет знак.

Так как стоящее перед ним ция х дважды ди еренцируеиа "точких . Тогда если хо >О, то х . Если хо <О,тох — точ- в этой окрестности сом ножитель сохраняет знак охраняет знак льно, Гра Ик ТЕЛЬНОЙ И УНКЦИЯ стк стрОГОЙ Й УНКЦИИ ункция бывает и, по достаторая часть теоремы я того чтобы вогнутости ди ТФОРВмз. Пусть х ди еренцируеми.

~нзшия х была ВыпуклОЙ вогнутой В некоторой Области, неОбходиыо и достаточно, чтОбы х не ВО3рзстзла не убыВа" ЛИ) В ЭТОЙ ООЛИСТИ. <3 Рассмотрим случай ВыпуклОи ункции, для ВОГнутои ункции доказательстВО аналогично. окажем иеобходи иость. П~ сть ун кция выпукла. Предположим, что ее произВОдная Возрастает, тогда по достзточному признаку уцкция строго Вогнута. Пришли к противоречию.

Окажем дОсРийшОМЙОсюь. Гак же, как В предыд~чцей теореме, запишем уравнение касательной, вычислим значение ункции по Пример. Вычислим по этой формуле кривизну окружности радиуса ~. Рассмотрим параыегрическое представление окружности: Вычисдим производные и подставим в ормулу для кривизны дуги: Окружность кривизны, центр кривизны, радиус кривизны м точку Мна гладкой дуге, проведем касательную и в точке М.

Построим окружнОсть, проходящую чещимся на построенной нормали на ИК УНКЦИИ У Х . ОбОЗНЗ- а дуги гра яка вточке М . Этаоктью кривизны гра ика ункции в зется Радиусом кривизны Гра икэ ружности называется центром кри- ся геометрическое место ее центров ется эвольвентой разверткой для улы для координат центра кривизны ри Грйф Поэтому ~ = И ЭВОЛЬВФ х =х~1) = ЯСОВ~ ные и подставим в ормулы параметрического представления эволюты: м в формулы эволюты параметриче- 1я ииклоиды, 38дйнной орм~ лйми яп ~); ~сов ~).

Если координаты центра кривизны Рассмяч Ривать как тек~~шие координаты точки ЗВОлюты, то эти Орм~лы дают пирзмютричР- шо~ йрйдстй~л©йи~ ~~Олю~~ с параметра~1и ~ и у . . Наидем проиЗВод Теорема. я того чтобы вектор- ункция ~ была непрерывной в точке ~о. необходимо и достаточно, чтобы координатные ункции Й 1, Й 1, Й„1 были непрерывны В точке 1р. 1а~~)-~Ь~= ~(а.1~)-ао,-) + 1а„~~)-аа ) + 1а-(~)-ао.-)- Запишем разность векторов в разложении па базису: .