Дубограй И.В. Методические указания к выполнению домашнего задания по теме Кривые второго порядка (2002)

1,1 " Московский государственный технический университет им. Н.Э, Баумана И.В. Дубограй, В.и. Леванков, Е.В. Максимова Методические указания к Вьгполнению домашнего задани51 по теме «Кривые второго порядка» ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обоаначеииого адесъ срока ! м~ !1 ад редакцией В.О.

Леваикава ! ! Таа. МВТУ. 19а9 г, аак. 42а Тар. 100000,. Москва Итдательство МГТУ им, Н.Э. Баумана --0002- УДК 512.86 ББК 22.143 Д 79 ВВКДКНИК Рсце!(зент В.Ф. 770>(ов 1$В)Ч 5-7038-2084-7 УДК 512.86 ББК 22.143 Ирина Валерьевна Дубограй Владимир Иванович Леванков Клена Владимировна Максимова рслактср О >и. аг>ро>евс Кпррсл гор Н.Е Мгь>ен>нье«н Исштсльсгно ЫГТУ 00 Н Э Ба>м>ьии !05005, Ы>а ьа», >-н Ба«мань>.,>а. ' М(-! У,(м ! ! .) >ни„,п,, >00 > !ХВН 5-703Х-2ОХ1-7 Дубограй И.В., Леванков В.И., Максимова Е.В.

д79 Методи !еские указьвпся к выполнению домашнего задания ио теме «Кривые второго порядка» / Под род. В,И. Леваикова. — Мл Изд-во МП У им. Н.Э. Баумана, 2002. — 52 с. Содержат краткис теоретические сведения по теме Криаь!е второго порядка», подробно разобранные примеры и условна> !ииов(но расчета. Длл самостолтелын>й работы студситон перно(и ьсместра. изучак>ших лиисйну>0 алгебру. Табл.

2 Ин. 37. Бнблнсгр 2 на >а. Методические указания к выполнению домашнего задания по теме «Кривые второго порядка» Полли«сна а песнь 020702 грппмат 60«84/(Ь Бум»г> офсстнм( Пс«л 3,25 Усп нсч л 1,00. У(-п>л л ',95. Тнргск 3000 >к'> И: 0>9 4.'. !( Ь О Данные методические указания предназначены лля самостоятельной работы студентов при изучении темы «Кривые второго порядка» и содержат варианты домашнего задания для студентов 1 курса, «Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся совершенно бессмысленными, но проходят века, н эти исследоиания приобретают огромнук> научную ценность.

Лучший пример этол(у: исследования древними греками кривых 2-го порядка, отличных от окружности, Первым их начал изучать один нз учеников Платона. До ХЧ11 иска, когда Кеплер открыл, что планеты движутся по эллипсам, а Гал!шей( доказал, что граекторней дни>кения снаряда является парабола, эти кривые не находили себе применения. Аполлоний из Перги, древнсгрсчсский геометр (П1 в. до и. э.).

посвятил этим кривым трактат «Конические сечения», где впервые показал, что можно полу шть все четыре кривыс, рассекая конус иод разными углами».' В итоге работы над темой «Кривые 2-го порядка» вы должны знать: 1) оирелеления окружности, эллипса, пшерболы, параболы; 2) канонические уравнения этих кривых; 3) геометрический смысл параметров, входящих в уравнения, и соот1юогения между ними, а также должны уметь: 1) вывести канонические уравнения кривых второго порядка; 2) определить тнп кривой ио ее пятичленному уравнению; 3) привести пятичленное уравнение кривой к каноническому виду; 4) по уравнению кривой сделать чертеж, опрелелив параметры, фокусы, директрисы. асим!Поты; 5) по чертежу написать каноническое уравнение кривой.

' Гиранер и, М«темати'(ссьис досуги. М . !97>. С !9-30. точки (х, -у), (-х,у), (-х,— у) принадлежат эллипсу. Следо- вательно, эллипс имеет две оси симметрии — оси координат. Определение. Точка пересечения осей симметрии О называ- ется центром эллипса. 3. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. При у=О х=+а, при х=О у=+Ь.

Точки А( ао), А,(а,о),В,(о,-Ь), В,(о,Ь) называются вершинами эллипса. Постройте их на том же чертеже, где построили прямоугольник. Они лежат на сторонах построенного треугольника. Отрезки А~А»и В,вз, а также их длины 2аи 2Ь называются большой и мшюй осями эллипса, а и Ь вЂ” полуосями. Достаточно постро- ить кривую по точкам при х > О, у > О, а затем использовать симметрию. Постройте кривую (рис. 2).

» З ге Замечание. Из соотношения между параметрами а — с = Ь можно опрсдслить положение фокусов, построив прямоуголь- ный треугольник по катету Ь и гипотенузе а (см. рис. 2). 4. Форма эллипса характеризуется отношением половины расстояния между фокусами к его большой полуоси.

Это отно- шение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается с; в-"-=~~ — '( — ) так как 0<с <а, то 0<с<!. сс ~ 'ха) Чем больше в, тем больше расстояние от центра до фокусов Ь и тем более сплющсн эллипс. При в=Π— =), т. е. Ь=а, при а »» з этом эллипс превращается в окружность х + у = а". Заиечаиие. Мохспо систему координат ввести иначе.

Через фокусы провести ось Оу . Вид канонического уравнения в этом случае нс изменится. Договоримся только, что полуось вдсль оси Ох обозна гать через а, а вдоль оси Оу — через Ь ((МЬ;)+(М!',(= 2Ь) (рис. 3). з 3 з Если впервом случае было а>Ьи а — с =Ь, тотеперь 2» 2 а<Ьи Ь вЂ” с =а, Координаты фокусов Ь~ и г', соответственно (О,-с) и с (О,с). Эксцентриситет с = — .

Ь Рис. 3 Задача 1. Запишите каноническое уравнсние эллипса 3 з л +5у =!5,определите его полуоси, найдите координаты фокусов, эксцентриситст, сделайте чертеж. Не спешите смотреть решение. Попробуйте решить самостоятельно. х Ресиеиие. — + — =!, а = Л5 Ь=Л. Так как а>Ь,с= 15 3 =4г — Ь =Л», фокусы лежат на оси Ох, Ь»( — Л2, О), с Г4 гг('»(2 0)' с= — = ~ (рис. 4). а 5 х у— — — =1 а Ьг Ряс.

4 1.2. Гипербола Задача 2. Сосгавьте каноническое уравнение эллипса с центром в начале, координат, если его большая ось равна !О, а расстояние между фокусами 8. Решелие. Задача имеет два решения, так как не сказано, на какой оси координат лежат фокусы. !-й случай: 2а=! О, 2с=8, тогда Ь = /га~ — с =3 и канох у' ническое уравнение — + —" = 1. 25 9 2-й случай: 26 =10, 2с = 8, а = чЬ -с = 3 и каноническое Гг х у уравнение — + — = !.

9 25 Определение. Гиперболой называется множество точек на плоскости„модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть всличина постоянная. Если зту постоянную обозначить 2а, расстояние между фокусами 2с и систему координат ввести так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а ось Оу через середину отрезка между фокусами, то, проделав аналогичные выкладки, как н в случае эллипса, вы получите каноническое уравнение гиперболы где Ь =с -а (с>а так как разность двух сторон треугольг г ника меньше третьей стороны), Выведите уравнение гипсрболы самостоятельно. Исследуйте форму гиперболы: 1.Покажите, что оси координат являются осями симметрии гиперболы.

2,1-!айдитс точки пересечения гиперболы с осями координат. Покажите, что она пересекает ось Ох в двух точках, а ось Оу пе пересекает, Обозначьте их А, и Аг. Точки пересечения гипер- болы с осью симметрии называются ее вершинами, а сама ось и отрезок А,А, назывнотся действительной осью гиперболы. Ось симметрии, которую гипербола на пересекает, называет- ся мнимой осью гиперболы. Мнимой осью называется также отрезок В,Вг, где В, и В, распологкены на мнимой оси по обе стороны от ее центра симметрии О на расстоянии Ь . 3.

Покажите, что все точки гиперболы лежат вне полосы, ог- раниченной прямыми х =+а и, следовательно, гипербола со- стоит из двух отдельных ветвей. 4. Можно доказать, гто нри неограниченном удалении точек гиперболы от начала координат опи неограниченно приближа- ются к прямым, прохоляшим через диагонали прямоугольника Ь со сторонами х =+а и У=+6, т. е. к прямым У =+ — х, кото- а рые являются асимптотами гиперболы. 5.

Теперь сделайтс чертеж. Постройте прямоугольник со сто- ронами х =+а. У=.хб, проведите его диагонали и продолжите их за вершины прямоугольника, постройте вершины гиперболы, а затем всю гиперболу (рис. 5). 1)Ж! с (6') Эксцснтриситст гиперболы с = — '', т. е. а = — = 1+ — > 1. (А,А.)' ~ 3 Рис. В Рис. 7 г,(о, — и) Рис. 6 Если через фокусы провести ось Оу, то после )иилогичных выкладок получится уравнснис ! у х (1.4) Ь и Договоримся через а обозначать полуось вдоль оси Ох.

через Ь вЂ” полуось вдоль Оу . В этом случае вершины гиперболы лежат на оси О)' . Ох — мнимая ось. Заметьте, что фокусы всегда лежат на действительной оси. Действитсльнд>< ось называется еше фокальиой. Сравните теперь оба уравнения: в первом случае знак «+» стоит перед )ле- е иом с х', во втором — перед членом с у (рис. 6), с — †. ГиЬ псрбола (1.4) называется гслрялсели~д с гиперболой (!.3). Задача 3.

Запишите каноническое уравнение гиперболы 2 7 25у -9х =1, определите полуоси гиперболы, найдите координаты фокусов и сделайте чертеж, 1 х Рекчеиие. ! — ! -=! действителыгая ось иа оси Оу (член с 25 9 1 1 ус СО ЗиаКОМ «Ч.и), а ---- — МШ)Мдя ПОЛУОСЬ; Ь = — — дЕйетпн- Г и 1 1 ч'34 тельная полуос<я с == ча- ч-Ьз = ~ — + — =-— )~9 25 15 ФокУсы Р(0,+с~, 1"; 0: — —, 1; 0; — (рис. 7) — /34 1 . < ~Г34 Задача 4.

Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относитсльно начала !2 координат, если уравнение асимптот гиперболы у=х — х и 5 расс<о)и!ие между всрп)янами 48. Ь Ь 12 Решение, Так как уравнение асимитот у =+ — х, то — = —, а ' а 5 ' Л так как фокусы лежат на оси ординат, то действительная ось лежит на оси Оу и 2с>=48, )> =24.Отсюда и =10, и канони сс)"- хз скос уравнение гиперболы — ' - — =! . 576 100 Задача 5, Составьте уравнение гиперболы, верппшы которои расположены на оси Охсиммесрично ошоси.пльно начала коорлпнат.

если расстояние между ними равно 4, и зксцентрнситет гихГ7 нерболы в =- — С>селайге чертеж, найдите коорлинагы с(>окусов, х Ресссепае. Каноническое уравнение пшерболы —, — — —, =-1. И» а (> с с,()7' й!7 условия задачи 2а = 4,с = —, Отсюда имеем — = —, с =- —-- сс 2 4 2 17 1 ! Изсоотношепия (> =с -а нахолим (> = — --4= —,с>=-— 4 4 х у Кююпическое ураннснис гиперболы — — — = 1. Фокусы ле- 4 1 ( /Г7 ) ( Л7 >хат на оси Ох и имесот координаты 1' — —;0 ~. Г, — —;0 ~ (рнс. 8). 1.3.