Дубограй И.В. Методические указания к выполнению домашнего задания по теме Кривые второго порядка (2002) (1095435), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Парабола Определение, Параболой называется множество точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ)>исой. Чтобы вывести каноническое уравнение параболы, за ось Ох возьмитс прямусо, прохоляшук> через фокус Р перпендикулярно директрисе и направленную от директрисы к фокусу, за Оу — перпендикуляр к От через середину отрезка между фокусом и директрисой, Расстоиш)е от фокуса до лпрсктрнсы обозначьте через р ( рназывасот парах>стром параболы), р> О. Составьте уравнение параболы в выбранной таким образом системе координат После преобразований вы получите каноническое уравнение параболы Р: ° > РХ, (1.5) Фс>рма параболы ссзвсстнсс из школьного курса.
Исследуите положешсе параболы в атой системе координат. !. Покажите, что осш симметричсса снпоспгельпо Ох(имеет о.шу ось симметрии). 2. Докажите, что вся она лсж>гг справа от оси Оу, т. е ес ветви направлены в положительную сторону оси Ох. Ось симметрии параболы ссссзынасо~ сс осью.
Точку пересечения параболы с осью симметрии называап вершиной параболы. 3. Сделайте чертеж (рис, ')). Ес.ш ось От направизь от фокуса к лирсктрисе, то уравнение примет вил у = -2рх (рис. 10). Если через фс>кус перпендикулярно директрисе провести ось Оу, то уравнение параболы примет сиш х =2ру(рис. 11) или .т = — 2р) (рис.
!2), Задача 6. Заспгшитс каноническое уравнение параболы 1 2.т ту = О, найдите параметр параболы, координаты фокуса, уравнение директрисы, сделайте чертеж. л г Рие. И1 Рне. 9 Рие. 13 Рис. 1! Рис. 12 15 1 Решение. х = У. Сравните уравнение 2 ! Р 1 ' РУ' Р = ° = . Ось симметрии Оу, так как одному 4 2 8' значению У соответствуют два значения х.
Удобно запомнить внешний признак: У входит в уравнение в 1-й степени. Ветви параболы направлены вниз, так как уь'О, Внешний признак: ( 1 перед 2РУ знак «-»,Е(0;--~ уравнение директрисы У=— 8' Уточним кривизну ветвей, найдя какую-нибудь точку, принад- ! 1 лежащую параболе. Например, при х=-, у= — — !рис. 13). 2 2 Задача 7. Сосгавьте уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат и проходяшей через точку М( — 1;2) Решение. Так как ось симметрии Ох, то х входит в уравнение в первой степени. А поскольку точка Ли!-1,2) лежит в П четвер~и, та ветви параболы направлены в отрицательную сторону оси Ох.
Поэтому каноническое уравнение такой параболы У' = — 2рх. Так как точка ЛХ( — 1;2) принадлежит параболе, то 2 !2) = — 2Р1-1), т. е. 2Р =4 и уравнение искомой параболы у =-4х. В качестве повторения перепишите табл. 1 в свою рабочую тетрадь. уибении / аионическое уравнение ! х у - — с+ —,.—.
! и /г Эллипс Гипсрбалв т г'! Ой .т у и! -' —,— — ', =! и Ь б! — '. — —,— ! Ь и Фокусы лежат на действи- тельной оси Т 1 г- и! у = "рл. б) у = '-Пл !!арвболд ек грасы о !!извинив К кривой Ок!гугкность .т т г =и Геомегргг геский смысл перимет- ров. входгггггит я уравнение. и саагногвеиие между ними рдлиус окружности +— и - полуось вдаль оси Ол ! Ь . полуось ьваль оси Ог =-1Ь;Ь:г| и! с — и' — Ь' ггри и ь гкс =в и с !ли.- — /,г иг прн /, ь,г г— Ь и — полуось вдоль оси Ь вЂ” полуось вдоль аси с: — '!Г,/.г! ! с с =и нЬ'.и! с= —,бгг:=— и Ь /г — рпссгокнис аг фокуса ло Окончание табл. / Контрольное задание М1 уф Рис. 15 Рис, !а Рис. 14 1.
Напишите уравнение множества точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек М!(О;1) и Аг,(0; — 1! равна 4. Запшпите название кривой и сделайте чертеж. 2. Напишите уравнение гиперболы, проходяшей через фокусы эллипса — + — - =1 и имсюшсй фокусы в Вершинах этого х у 169 144 эллипса. 3. 1-!Впишите каноническое уравнение гираболы, изображенной на рис. 14. 1.4. НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ Возьмем, например, уравнение окружности х +у = а Выразим у через х. Г1олучим дВЕ фунКПИи У =+Чи — х и Г 2 5» =-ч'а -х . Первому уравнснию уловлстворякп коорчш! пы точек окружности, у которых у > О, т.
с. это уравнение верхней половины окрух<ности (рис. 151; второму уравнению удовлетворяют точки окружности, у которых у < О, т. с. уравнение у = -4и~ — х~ залает нижнюю половину окружности (рис. 161. Запишите теперь уравнения левой и правой половинок окружности. Ответ: Г»» х = +»га — Р— уравнение правой половины (х ~ О), Г.2» х = — »!а — Р— уравнение левой половины (х < 0), Рассмотрим обратную задачу. Задача 8. Каков гсоме!рический смысл уравнения 5 Г»", у — — — !9 — т" 2 „» Сдслайтс чертеж. Регаа»аае.
Так кг!к !гр!!вал часть у!Завнениз! Не положительна, то Р < 0 . Следовательно, это уравнение равносильно системе у«О, 25 ~ 1) или 9 Рис. 19 Рис. 17 4 / » Задача 9. Построить графики Функпий: а) х= — — »)У +9; Рис. 20 3 Ге б) х= — 5.,1 — у в) у= — »/ — х; г) у= — ~х — 1б, ч Попробуйте сделать самостоятельно. Проверьтс ответы: ха) левая ветвь гиперболы — — — =1 (рис. !8), 1б 9 Рис. 21 Рис. 1В 21 Это множество точек эллипса у < О, т. е, его нижняя половина у<О, х у — + — =!.
9 25 х у — + — = 1, у которых 9 25 (рис. 17), б) левая половина параболы х' = -25у (рис. 19), в) нижняя половина параболы у = -х (рис. 20), г) верхняя половина гиперболы — — —.=-! (рнс. 21). Л" у !6 9 Если ответ получился другой, разберите решение: 4 Г; а) х = — — л)у' + 9 =о х < О, следовательно, 3 х = — — л)~' +9 сэ 16( з, ) с-э 16 9 !" у .'> () >О Контрольное задание № 2 !) х=3, У! ! - ! а Ь 12.1) (л — х„) (у — у„) — — — + =1 1 1 12.2) х<0, б) х =-5.„1-у с=' ! в) у =-;~ л' х" =-25У; г) у = — ч'х — )6 с-, 9 ° -> у" =-т!х — )6) !6 Постройте ! ргн)>яки Функций: ! !) х= — !к — 9; 2) у=--~!9 — х 3 ' ' 3 4) у = ч!-х, 2.
СМЕЩЕННЫЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОР51ДКА 2.1. Канонические уравнения смещенных кривых второго порядка В предыдущей части нри выводе кщгонического уравнс!!ггя эллипса мы раси!олагю!и фокусы 1!; и У'; на оси Ох сиь!ь!с!- рично относительно начала координат. Рассмотрим теперь случай. когдг! (и!и распело)кс!!ы инач!.', а имс!!!ю, пус!! Он!! Находятся на прямой, параллельной оси Ох. Выясним. как при зто!! изменится уравненис эллипса. Очевидно, что кривая расг!слагается на плоскости хОу так, как показано !га рис. 22.
Осями симметрии эллипса яал!потея пряь|ые. параллельныс осяз! координаг, урггвнення козорых х = хя н !. — у! (ль Уа) координаты центра симметрии эллипса. Для вывода нового уравнения эллипса введем еще одну систему координат х,О,У,, началом которой является центр симме!рии эллипса О,, а ося- ми — его оси симметрии !сы.
рис, 22). Ряс. 22 В новой системе координат уравнение эллипса имеет вид Формулы, связывгношис старые координаты произвольной точки М (х, у) плоскости с ее новыми координатами М (х,,у,), гюлучснными в результате параллельного переноса осей в точку О! (.тю у!! ), имеют вид х! — — х — хо, У! = У Уо. Новые координаты выражены через старые. Подставляем их в ураннсние !2.!) и получаем уравнение смещенного эллипса В старой системе координат (х - х„) (у - у„) а' В новой системе координат урав- нение гиперболъл (рллс.
23) У~ в' Рис. 23 В старой системе координат (У-у;)' '= 2Р(х х«). (2 4 ) В новой системе координат уравнение параболы (рис. 24) у~ '" 2рх, ° лс. 24 Рис. 26 Рис. 25 24 25 Ясно, что при таком смещении (параллельном переносе) соотношение между параметрами эллипса, его зкснентриситст не изменится. Анвлогллчно получаем уравнения смелценных таким образом гиперболы н параболы. Задачаур. Составить уравнение кривых, изображснпых нв рис. 25, 26. Определить координаты с)локусов. Решение. Крис.
25. Кривая-эллипс. Каноническое уравнение ( ' ) (. )' ха) (У Уа) этой кривой " + ' ' = 1. Из рис. 25 ннлнм 2 Ь2 0,(3;2), х, =3,у, =2, а=4, Ь= 2. Подставляем данные в (х — 3) (у-2) уравнение эллипса и получаем + =1 Для оп- 16 4 ределсния координат фокусов необходимо найти с . Так как у нашего эллипса а > Ь, то с =а'-Ь', с = /Г2=2Г3; Г(ха+с Уа): Р; (3 — 2ч3,2), Гз (3+2 /3,2) „н = — = —, а 2 Х рис.
26. Кривая-лтарабола. Каноническое уравнение такой параболы (у — у„) = — 2 р (х — х, ) . Из рис. 26 видим: О, ( — 2; 2), ха —— -2, у„= 2 . Определим значение р . Подставляем х,и Уав уравнение параболы (У вЂ” 2) =-2р(х+2). Точка А( — 4;0) лежит на параболе, поэтому ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Это дает возможность определить параметр параболы р: 4 = — 2р(-2) со р = 1 Уравнение параболы (У вЂ” 2) = -2(х+ 2) .
р 5 Координаты фокуса Р(ха — — Уа), т.е. Р( 2), Ах' + Су' + 2 йх+ 2Еу+ )г = О . (2.5) Контрольное задание № 3 Рис, 27 28 Уравнение директрисы с(: х=х, + —; х =-— Р. 2 2' !. Напишите каноническое уравнение кривой, изображенной на рис. 27, Найдите координаты ее фокусов, эксцентриситет. Напишите уравнения асимптот (кривая проходит через начало координат).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
