15-variant-1-tipovik (15 вариант 1 типовик)
Описание файла
PDF-файл из архива "15 вариант 1 типовик", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальная геометрия" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "дифференциальная геометрия и основы тензорного исчисления" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Кривые и поверхности в пространствеВариант 15June 17, 2018Задача 1. : ⃗ = ⃗(, ), , ∈ R.òî÷êàõ 1 , 2 .Íàéòè îñîáûå òî÷êè ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòèóðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè â⃗ = ⃗(, ) = {2 , 2 cos , 4 sin }1 (0, 0, 0), 2 ( 2 , −2, 0)Решение:⎧2⎪⎨ = ⃗ = = 2 cos ⎪⎩ = 4 sin ⎛⎞2r̃u = ⎝ 2 cos ⎠4 sin ⎛⎞0r̃v = ⎝ −2 sin ⎠4 cos ⎛⎞20⎝2 cos −2 sin ⎠4 sin 4 cos ⎛⎞8r̃u × r̃v = ⎝ −82 cos ⎠−42 sin Îñîáàÿ òî÷êà:(0, 0, 0), = 0, ∀ ∈ R2 ( 2 , −2, 0) :1Ñîñòàâèòü⎧22⎪⎨ = 2 cos = −2 (2)⎪⎩4 sin = 0→ = ±1. = (2) : 2 * cos = −2=2.
= −(2) : −2 * cos = −2⎡ ={︃0 = ,⎢⎢ =⎢{︃⎢⎣ = −,=0 òî÷êå2 :⎛⎞2r̃u = ⎝ −2 ⎠0⎛⎞0r̃v = ⎝ 0 ⎠−4⎛⎞8r̃u × r̃v = ⎝ 8 2 ⎠0 = {8 * + 8 2 * = −8 3 }Ответ:Îñîáûå òî÷êè:(0, ), ∀ ∈ R. Òî÷êà 1 - îñîáàÿ2 : = {8 * + 8 2 * = −8 3 }Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé â òî÷êåЗадача 2.Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü âèäà ïîâåðõíîñòè îò îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ (, ). Ñîñòàâèòüóðàâíåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé.Ïîñòðîèòü ïîâåðõíîñòü è êîîðäèíàòíóþ ñåòü íà íåé.Решение:∙ = 0 : {20 , 20 cos , 40 sin }Ýëëèïñ∙ = 0 : {2 , 2 cos 0 , 4 sin 0 }Ïàðàáîëà2Задача 3.Âû÷èñëèòü ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè.
Âû÷èñëèòü óãîë ìåæäó êðèâûìè = 2è=â òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ.Решение:⎧2⎪⎨ = = 2 cos ⎪⎩ = 4 sin 2 = 2 + 2 + 23⎛⎞2r̃u = ⎝ 2 cos ⎠4 sin ⎛⎞0r̃v = ⎝ −2 sin ⎠4 cos = |⃗ |2 = 42 + 4 cos2 + 16 sin2 = 4(2 + 3 sin2 + 1) = ⃗⃗ = −4 cos sin + 16 sin cos = 12 cos sin = 6 sin 2 = |⃗ |2 = 42 sin2 + 162 cos2 = 42 (3 cos2 + 1)2 = 4(2 + 3 sin2 + 1)2 + 12 sin 2 + 42 (3 cos2 + 1) 2(︂)︂ G= (︂Gp =1 : { = }; 2 : { = 2 }1 : ˙ = ˙ = 12 : ˙ = 2; ˙ = 11 (0, 0) è 2 (1, 0) - òî÷êè1 - îñîáàÿ.4(2 + 3 sin2 + 1)6 sin 226 sin 24 (3 cos2 + 1)ïåðåñå÷åíèÿ2 : (︂)︂4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 2 =6 sin 24(3 cos2 1 + 1)4)︂(︂)︂ (︂ )︂(︀)︀ 4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 20⃗⃗ * = 1 1= 6 sin 2 + 4(3 cos2 1 + 1)26 sin 24(3 cos 1 + 1)1(︂)︂ (︂ )︂(︀)︀ 4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 21⃗⃗ * = 1 1= 4+12 sin2 1+4+12 sin 2+12 cos2 1+26 sin 24(3 cos 1 + 1)14 = 24 + 12 sin 2(︂)︂ (︂ )︂(︀)︀ 4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 20⃗⃗ * = 0 1= 4(3 cos2 1 + 1)26 sin 24(3 cos 1 + 1)1cos() =√6 sin 2+4(3 cos2 1+1)√24+12 sin 24(3 cos2 1+1)≈ 0, 819 ≈ 35∘Ответ:2 = 4(2 + 3 sin2 + 1)2 + 12 sin 2 + 42 (3 cos2 + 1) 2 òî÷êå2 (1, 1) : = 35∘Задача 4.Âû÷èñëèòü âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè.
Îïðåäåëèòü òèïû òî÷åê ïîâåðõíîñòè.Решение:⎛r̃uu⎞2=⎝ 0 ⎠0⎛r̃vv⎞0= ⎝ −2 cos ⎠−4 sin ⎛r̃uv⎞0= ⎝ −2 sin ⎠4 cos ⎛⎞8r̃u × r̃v = ⎝ −82 cos ⎠−42 sin 5√√√642 + 644 cos2 + 164 sin2 = 2 2|| 32 cos 2 + 52 + 8⎛⎞81⎝−82 cos ⎠= 2√2||√32 cos⃗ = |⃗⃗ ×⃗×⃗ |2+52 +8−42 sin ⎛⎞8√(︀)︀4 212⎝⎠√ 16√√200−8cos=,= = ⃗ *⃗ = 2√2||√32 cos2+52 +82 2|| 32 cos 2+52 +832 cos 2+52 +82−4 sin ïðè óñëîâèè, ÷òî > 0⎛⎞8(︀)︀10 −2 cos −4 sin ⎝−82 cos ⎠ = = ⃗ * ⃗ = ⃗ * ⃗ = 2√2||√32 cos2+52 +8−42 sin √ 234 2√ 16√= √32 cos, ïðè óñëîâèè, ÷òî > 02 2|| 32 cos 2+52 +82+52 +8⎛⎞8(︀)︀2 cos sin −162 cos sin 1√0 −2 sin 4 cos ⎝−82 cos ⎠ = 162√2|| = ⃗ *⃗ = 2√2||√32 cos2+52 +832 cos 2+52 +82−4 sin |⃗ × ⃗ | = =0B=√√4 232 cos 2+52 +8det B > 0 ⇒ =√(︂)︂1 00 2ýëëèïòè÷åñêèå òî÷êè.√4 2232 cos 2+52 +8+√√4 22 232 cos 2+52 +8=√√4 2(232 cos 2+52 +8+ 2 2 )Ответ: =√√4 2(232 cos 2+52 +8+ 2 2 )Òî÷êè ýëëèïòè÷åñêèå.Задача 5.Íàéòè ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ è ãëàâíûå êðèâèçíû â òî÷êàõãàóññîâó êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â òî÷êàõ1 , 2 .Решение:1- îñîáàÿ òî÷êà.[︃=2 ( 2 , −2, 0) ⇒=61 , 2 .Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ èB=√√ 4 23 2 +5 2 +8(︂)︂1 0=0 2√ 2 2 +1(︂1 00 2)︂(︂ 2)︂4( + 1)0G=016 2 2 det G − ( + − 2 ) + det B = 02+ 16 2 √22 +1 ) +64 2 ( 2 + 1) 2 − (4( 2 + 1) √2 2 +1=(8 2 ( 2 +1)+32 2 )2 2 +11,2 =4 2 2 +1=0222− 4 42 +1 64 ( + 1) ≈ 27066356±1656866*21 ≈ 0, 0142 ≈ 0, 04Ñðåäíÿÿ êðèâèçíà:= +−2 2 det G2+16 2 √ 22 +1 +1128 2 ( 2 +1)4( 2 +1) √22=≈ 0, 027Ãàóññîâà êðèâèçíà:=det Bdet G=4 2 2 +164 2 ( 2 +1)≈ 0, 00056Ïðîâåðêà:=1 +22= 0, 027- âåðíî.
= 1 * 2 = 0, 00056- âåðíî.Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ:(︂ )︂1=0(︂ )︂0=1Задача 6.Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ëèíèé êðèâèçíû, àññèïòîòè÷åñêèõ ëèíèé è ãåîäåçè÷åñêèõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîéïîâåðõíîñòè. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé.Решение:71) Àññèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè: íåò, òàê êàê òî÷êè ýëëèïòè÷åñêèå.2) Ëèíèè êðèâèçíû:⃒ 2⃒⃒˙ −˙ ˙ ˙ 2 ⃒⃒⃒⃒ ⃒=0⃒⃒⃒ ⃒B=√4 2√32 cos 2+52 +8(︂)︂1 00 2⃒⃒⃒⃒˙ 2−˙ ˙˙ 2⃒ 2⃒⃒4( + 3 sin2 + 1) 6 sin 2 42 (3 cos2 + 1)⃒ = 0√√ 2⃒⃒4 2⃒ √ 2 4 2 2⃒√0223 cos 2+5 +83 cos 2+5 +8√32√4 2(˙ 2 (63cos 2+52 +82sin 2) + ˙ (4(˙+ 3 sin2 + 1) − 42 (3 cos2 + 1)) + ˙ 2 (−6 sin 2)) = 02˙ 2 (63 sin 2) + 4˙ (3(sin˙ − 2 cos ) + 1) − 6˙ 2 sin 2 = 03) Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè:⃗˙ ⃗¨ ⃗ = 0⎛⎞2˙⃗˙ = ⎝2˙ cos − 2˙ sin ⎠4˙ sin + 4˙ cos ⎛⎞2˙ 2 + 2¨ cos − 2˙ ˙ sin − 2˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos ⎠ =⃗¨ = ⎝ 2¨4¨ sin + 4˙ ˙ cos + 4˙ ˙ cos + 4¨ cos − 4˙ 2 sin ⎛⎞2˙ 2 + 2¨⎝2¨ cos − 4˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos ⎠4¨ sin + 8˙ ˙ cos + 4¨ cos − 4˙ 2 sin ⎞⎛81⎝−82 cos ⎠⃗ = 2√2√32 cos2+52 +8−42 sin 1⃗˙ ⃗¨ ⃗ = 2√2√32 cos(2((2¨˙ cos − 4˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos )(−42 sin ) −2+52 +8(4¨ sin +8˙ ˙ cos +4¨ cos −4˙ 2 sin )(−82 cos ))−(2˙ cos −2˙ sin )((−42 sin )(2˙ 2 +2¨)−8(4¨ sin +8˙ ˙ cos +4¨ cos −4˙ 2 sin ))+(4˙ sin +4˙ cos )((2˙ 2 +2¨)(−82 cos )−8(2¨ cos − 4˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos ))) = 022 2−˙ 3 48 cos sin + ˙ 2 16(˙(1 − 13 cos2 ) + 8) + ˙ ˙ 2 804 sin cos − ¨16˙( (1 + 3 cos2 ) +4) + ¨˙ 642 + ¨˙ 16 cos (4 − 32 sin2 − 9 sin ) + ˙ 3 643 = 0Задача 7.Âû÷èñëèòü êðèâèçíó êðèâîé:=â òî÷êàõÔðåíå.81 , 2 . îäíîé èç òî÷åê ïîñòðîèòü ðåïåðРешение:⎧2⎪⎨ = = 2 cos ⎪⎩ = 4 sin ⎧2⎪⎨⃗ = 2 cos ⎪⎩4 sin ⎛⎞2⃗˙ = ⎝2 cos − 2 sin ⎠4 sin + 4 cos ⎛⎞2⃗¨ = ⎝−4 sin − 2 cos ⎠8 cos − 4 sin √︀|⃗˙ | = 2 2 + (cos − sin )2 + 4(sin + cos )2⎛⎞8(2 + 1)⃗˙ × ⃗¨ = ⎝ 8((2 + 1) sin − cos ) ⎠−4((2 + 1) cos + sin )√︀|⃗˙ × ⃗¨| = 4 4(2 + 1)2 + ((2 + 1) cos + sin )2 + 4( cos − (2 + 1) sin )2=|⃗˙ ×⃗¨|˙3|⃗|1)⎧ 1 (0, 0, 0):2⎪⎨ = 02 cos = 0⎪⎩4 sin = 0⇒=0cos = 1, sin = 0√√|⃗˙ × ⃗¨| = 4 4 + 1 = 4 5|⃗˙ | = 2=2)√4 58√=522 ( 2 , −2, 0)⎧22⎪⎨ = ⇒=2 cos = −2⎪⎩4 sin = 0√︀√︀|⃗˙ × ⃗¨| = 4 4( 2 + 1)2 + ( 2 + 1)2 + 4 2 = 4 5( 2 + 1)2 + 4 29√|⃗˙ | = 2 5 2 + 1√2 5( 2 +1)2 +4 2√ = 52 +1(22 +1) ≈ 0, 34Ðåïåð Ôðåíå â òî÷êå⃗ =1 (0, 0, 0) :⃗˙|⃗˙ |⎛ ⎞0˙⃗ = ⎝2⎠0⎛ ⎞ ⎛ ⎞00⃗ = 12 ⎝2⎠ = ⎝1⎠00⃗ =⃗˙ ×⃗¨|⃗˙ ×⃗¨|⎛⎞16⃗˙ × ⃗¨ = ⎝ 0 ⎠−4⎛ ⎞161 ⎝⃗√0 ⎠==4 5−4⃗ = ⃗ × ⃗⃗⃗ = ⎝ 0⎛√45⎛⎞4√1 ⎝ 0 ⎠5−1⎞⃗⃗10 ⎠=0 − √15⎛ ⎞1√1 ⎝0⎠5410.