kratnye_integraly_variant_13 (Кратные интегралы (Кузнецов Л.А.))

TU.ruЗадача 1.13. Изменить порядок интегрирования.π/2Пределы интегрированияСкачаносAnПоменяем порядок интегрирования−1tiGXπ/40-π/4-π/2Y1TU.ruЗадача 2.13. Вычислить21D1Разделим область интегрирования наXдве части−2−1012D2tiG−1D1:СкачанD2:осAn−2YЗадача 3-13TU.ruВычислить.СкачаносAntiGРешениеTU.ruЗадача 5.13. ВычислитьСкачаносAntiGПределы интегрированияосаначСкruTU.tiGAnTU.ruЗадача 7.13. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями6Y4Переведем в полярную системуtiGкоординат2осAn0СкачанПределы интегрирования12X34D : x = 2, y = 0, y 2 = x 2( y ≥ 0) ;μ = 2x + 3y2 .TU.ru7 _ 08 _13Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - поверхностнаяплотность. Найти массу пластинки.Решение:Из рисунка находим пределы интегрирования по x и y.Сначала интегрируем по y, затем по x.2x/200M D = ∫∫ μ ( x, y ) dxdy = ∫ dxD2⎞⎟ =4⎟⎠0СкачаносAn3/ 20x2=0tiG⎛ x525x=∫dx = ⎜⎜ 20 2 2⎝2∫2( 2 x + 3 y 2 ) dy = ∫ dx( 2 xy + y3 )D : x 2 9 + y 2 4 ≤ 1;μ = x2 y2 .Решение:Обобщенная полярная сиситема координат:∂x3cos ϕ − 3r sin ϕ∂r== 6r∂y2sin ϕ 2r cos ϕ∂r(1) 2πm = ∫∫ m( x, y ) dx dy =D1422∫ dϕ ∫ 6r ⋅ 36r ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ dr =02π0An∂x∂ϕ∂y∂ϕtiG⎧ x = 3r cos ϕ(1) ⎨⎩ y = 2r sin ϕЯкобиан перехода равенTU.ru7 _ 09 _13Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность.Найти массу пластинки.2π⎛1r6= ∫ sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ ⋅ ∫ 216 ⋅ r dr = ⋅ ∫ sin 2 2ϕ ⋅ dϕ ⋅ ⎜ 216 ⋅4 06⎝00121⋅82π59 ⎛∫ (1 − cos 4ϕ ) ⋅ dϕ ⋅ 36 = 2 ⋅ ⎜⎝ ϕ −0sin 4ϕ ⎞ 2π⎟ | = 9π4 ⎠0Скачанос=2⎞|⎟ =0⎠1()9V = ∫∫∫ dx dy dz = ∫ dyG0(53+ y185 y /6∫5 y /18dx)∫5 y9dz =08⋅ dy⋅15 ∫0TU.ru7 _10 _13 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:55x=y, x =y,6185z = 0, z =3+ y .18Решение:∫ (3 +65y18)y dx =5 y⎞9⎛9⎛ 5 y 5y ⎞655 ⎜⎟= ⋅ ∫ ⎜ 3 + y ⋅ x | ⎟ dy = ⋅ ∫ 3 + y ⋅ ⎜−⎟⎟ dy =⎜ 65y181818 0 ⎜0⎟⎝⎠18 ⎠⎝)()tiG(99y y⎞2525 ⎛y⎞⎛=⋅ ∫ 3 + y ⋅ ⎜ y − ⎟ dy =⋅ ∫⎜3 y −⎟ dy =108 03⎠108 0 ⎜⎝3 ⎟⎠⎝2 y 2 y ⎞ 9 2525 ⎛y ⎞9⎛|==⋅⎜2y y −⋅ y y ⎜1 − ⎟ | = 5⎟108 ⎜⎝15 ⎟⎠ 0 54⎝ 15 ⎠ 0)СкачаносAn(аносачСкTU.rutiGAn7_10_13_2TU.ruЗадание 11.13.

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностямиПереведем в полярную системуtiGкоординатСкачаносAnПределы интегрированияx 2 + y 2 = 2 y,z = 13 4 − x 2 , z = 0.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩V = ∫ dϕ013 / 4 − r 2 cos 2 ϕ2 sin ϕ∫r dr0∫0πdz = ∫ dϕ2 sin ϕ∫ r (13 / 4 − r002cos 2 ϕ ) dr =tiGπTU.ru7 _11_13 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:ππ⎛ ⎛ 13 ⋅ r 2 r 4⎞ 2 sin ϕ ⎞⎛ 13⎞= ∫⎜⎜− ⋅ cos 2 ϕ ⎟ | ⎟ ⋅ dϕ = ∫ ⎜ ⋅ sin 2 ϕ − 4 ⋅ sin 4 ϕ ⋅ cos 2 ϕ ⎟ ⋅ dϕ842⎠⎠ 0 ⎠0 ⎝⎝0⎝ππ131313 ⎛sin 2ϕ ⎞ π 13π2ddϕϕϕϕϕ⋅sin⋅=⋅1−cos2⋅=⋅−()⎜⎟| =∫o 24 ∫04 ⎝2 ⎠04ππ22π=An⎛ 1 − cos 2ϕ ⎞ 1 + cos 2ϕ∫0 sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = ∫0 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⋅ 2 ⋅ dϕ =41⋅ (1 − cos 2ϕ + cos 2 2ϕ ) ⋅ (1 + cos 2ϕ ) ⋅ dϕ =8 ∫0ππ11 ⎛sin 2ϕ ⎞ π 1 1 + cos 4ϕ= ⋅ ∫ (1 − cos 2ϕ − cos 2 2ϕ + cos3 2ϕ ) ⋅ dϕ = ⋅ ⎜ ϕ −⋅ dϕ +⎟ |− ⋅8 08 ⎝2 ⎠ 0 8 ∫02ππ 1 ⎛1sin 4ϕ ⎞ π⋅ ∫ (1 − sin 2 2ϕ ) ⋅ d ( sin 2ϕ ) = − ⋅ ⎜ ϕ +⎟ |+16 08 16 ⎝4 ⎠0анос+π1 ⎛sin 3 2ϕ ⎞ π π π+ ⋅ ⎜ sin 2ϕ −⎟| = − =16 ⎝3 ⎠ 0 8 16 1613ππ− 4 ⋅ = 3π416СкачV =аносачСкTU.rutiGAn7_11_13_2x = 3 y 2 − 5, x = −2,z = 2 − x 2 + 16 y 2 ,z = 8 − x 2 + 16 y 2 .Решение:1V = ∫ dy−1∫12dx3 y 2 −5−2⎛ y3⎞1dzdy6dx633dy18==−y=⋅−+y()⎜⎟| =∫∫ ∫2∫⎝ 3⎠ −1−1−13 y −5x 2 +16 y 212−4= 243СкачаносAntiG= 18 ⋅8 − x 2 +16 y 2−2TU.ru7 _12 _13 _1Найтиобъем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:аносачСкTU.rutiGAn7_12_13_27 _13 _13z = 1 − x2 − y2 ,3z 2 = x 2 + y 2 .Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩Найдем линию пересечения графиков функций:TU.ruНайти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:V =∫ dϕ01− x 2 − y 23/2∫r dr(2 2 2x +y30⎛⎜ 1= ∫ dϕ ⋅ ⎜ − ⋅0⎜ 2⎝2π2π=19∫32∫2πdz =)∫ dϕ03/2∫01 − r 2 ⋅ d (1 − r 2 ) −019∫ 96 ⋅ dϕ = 48 π2 ⎞⎛r ⋅ ⎜ 1 − r 2 − r 2 ⎟ dr =3 ⎠⎝An2πtiG⎧ z = 1 − ( x2 + y2 )⎧ z = 1 − x2 − y 2⎧2 z 2 + 3z − 2 = 0⎧ z = 0,5⎪⎪⎪⎪⇔⎨⇔⎨ 2⇔⎨ 2⎨ 3z33z223z22⎪ =x +y⎪ x2 + y 2 =⎪x + y =⎪⎩ x + y = 4⎩2⎩2⎩232∫03⎞ 2π342⎛ 1⎞2r 3 ⎟rdr ⎟ = ∫ d ϕ ⋅ ⎜ − ⋅ (1 − r 2 ) 2 − ⎟ | =36⎠0⎝ 3⎟ 0⎠Скачанос07 _14 _13 _1z = −16 ( x 2 + y 2 ) − 1,z = −32 x − 1.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩−16 ( x 2 + y 2 ) − 1 = −32 x − 1x2 + y 2 = 2 xπ /2∫πV =dϕ− /22 cos ϕ∫0−16 r 2 −1r dr∫ϕπ /2dz =−32 r cos −1∫0π /2r ⋅ ( −16r 2 + 32r cos ϕ ) dr =π2264 14∫π cos ϕ ⋅ dϕ = 3 ⋅ 4 ⋅−2∫π (1 + cos 2ϕ )−2⋅ dϕ =2∫π (1 + 2 ⋅ cos 2ϕ + cos22ϕ ) ⋅ d ϕ =−2∫ (1 + cos 4ϕ ) ⋅ dϕ =π2Скач−22π64 1⋅ ⋅3 8π64 ⎛ 1⎞ 2⋅ ⎜ ⋅ (ϕ + sin 2ϕ ) ⎟ | +3 ⎝4⎠ −πанос64 1⋅ ⋅3 42Anππ+dϕ ⋅2 cos ϕ64⎛ 32 34 ⎞d⋅⋅r⋅−rcos4| = ∫cos 4 ϕ d ϕ =ϕϕ⎜⎟∫3⎝ 3⎠ 0−π / 2−π / 264=⋅3=2 cos ϕ− /2π /2=∫πtiGНайдем линию пересечения поверхностей:TU.ruНайти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:π64 ⎛ 3ϕ 11⎞ 2⋅⎜+ ⋅ sin 2ϕ + ⋅ sin 4ϕ ⎟ | = 8π3 ⎝ 8 432⎠ −π2аносачСкTU.rutiGAn7_14_13_2TU.ru7 _15 _13 _1Найти объем тела, заданного неравенствами:4 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 49,x2 + y 2, y ≤ 0, y ≤ 3x.99Решение:Перейдем к сферической системе координат:z≥⎧ x = r cos ϕ cos θ⎪⎨ y = r sin ϕ cos θ⎪ z = r sin θ⎩∫π /2∫dϕ ⋅−2π / 3arctg0=335dϕ ⋅⋅3 −2π∫ / 37dθ ⋅ ∫ r 2 ⋅ cos θ dr =120∫dϕ ⋅−2π / 399π /2∫arctgcos θ ⋅ dθ =1990анос∫π333352πV = ⋅ ∫ (1 − 0,1) ⋅ dϕ =⋅ 0,9 ⋅= 67π3 −2π / 333Скач0∫arctgcos θ ⋅ dθ ⋅199π /2335⋅ ∫ dϕ ⋅ sin θ | =13 −2π / 3arctg⎛⎛1 ⎞⎞⎜ 1 − sin ⎜ arctg⎟ ⎟ ⋅ dϕ99⎝⎠⎠−2 / 3 ⎝Находим :11α = arcth⇔ tgα =⇒ ctgα = 99999911так как 1 + ctg 2α =, то sin α =210sin αПолучаем :0=π /299An0V =tiGЯкобиан преобразования равен r 2 cos θr3 7|=32аносачСкTU.rutiGAn7_15_13_2x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 6 z ,x = 0, y = 0, z = 0( x ≥ 0,y ≥ 0) ;μ = 90 y.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:π /2M =∫0∫00∫90 ⋅ r ⋅ sin ϕ dz =10∫0dϕ ⋅ ∫ r ⋅ sin ϕ ⋅ d ϕ = 15 ⋅4π /2π /2∫01r /6⎞⎛d ϕ ⋅∫ ⎜ 90 ⋅ r 2 ⋅ sin ϕ ⋅ z | ⎟ dr =0 ⎠0⎝r5 1sin ϕ ⋅ dϕ ⋅ | = 3 ⋅5 02π /2∫аносачСкπ /2sin ϕ ⋅ dϕ = −3cos ϕ | = 30An0r2 / 6dϕ ⋅∫ r drπ /2= 15 ⋅1tiG⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩TU.ru7 _16 _13 _1Тело V задано ограничивающими его поверхностями, μ - плотность.Найти массу тела.0аносачСкTU.rutiGAn7_16_13_2.