Лекции Глотова А.Н., страница 2

Таким образом,каждая строка таблицы соответствует определенному состоянию функцииили устройства,Наибольшийее реализующего.практическийинтереспредставляютотрицания, логического умножения и логического сложения..функции101.Логическое отрицание НЕ переменной А есть логическая функцияХ, которая истинна, когда А ложно, и наоборот. Инвертор._Х = АГрафически функция НЕ обозначается в видекруга возле вывода (МЭК-117-15)(ГОСТ 2.743-91):_А ┌───┐ Х = А────┤ 1 о─────└───┘AX011По американской0 спецификации milspec:илирежеA├────────┐┌───────┐│└───────┘└───────└────────────────────────────────> tX│┌───────┐┌───────├────────┘└───────┘└────────────────────────────────> t_А ┌───┐ Х = А────о 1 ├─────└───┘o +EпX│┌┴┐││ │ RV└┬┘┌──────/────┴───>─┴─2.Логическое умножение И двух переменных А и В есть логическаяфункция Х, которая истинна только тогда, когда одновременно истинныобе входные переменные.

Кроме того функцию И называют КОНЪЮНКЦИЕЙ.X=A*B или X=A/\BГрафически функция И обозначается в видезначка & внутри элементаABX000010100111A ┌────┐────┤ & │ Х = А /\ B = A * BB │├───────────────────────┤│└────┘По американскойспецификации milspec:A│ ┌───┐┌───────┐├──┘└─────────┘└───────└────────────────────────────────> tB│┌───┐┌───────┐├────────┘└──────┘└────└────────────────────────────────> tX│┌────┐├───────────────────┘└───────└────────────────────────────────> t+EпABXo────/────/───┬───>┌┴┐│ │R└┬┘─┴─113.Логическая сумма ИЛИ двух переменных А и В есть логическаяфункция Х, которая истинна, когда истинна хотя бы одна из входныхпеременных. Кроме того функцию ИЛИ называют ДИЗЪЮНКЦИЕЙ.X=A+B или X=A\/BГрафическифункцияИЛИобозначаетсяввиде значка 1 внутри элементаABX000011101111A ┌────┐────┤ 1 │ Х = А \/ B = A + BB │├───────────────────────┤│└────┘По американскойспецификации milspec:A│ ┌───┐┌───────┐├──┘└─────────┘└───────└────────────────────────────────> tB│┌───┐┌───────┐├────────┘└──────┘└────└────────────────────────────────> tX│ ┌───┐ ┌───┐┌──────────┐├──┘└─┘└───┘└────└────────────────────────────────> t+EпAXo─────┬───/───┬───>│││B│└───/───┤┌┴┐│ │R└┬┘─┴─Три рассмотренных функции позволяют реализовать любую логическуюкомбинацию.Более того, сочетание одной из функций И либо ИЛИ сфункциейтакжеНЕпозволяетреализоватьлюбуюсложнуюфункцию.Например, реализуем функцию ИЛИ с помощью элементов И и НЕ._A ┌───┐ A ┌───┐ __─────────┤o─────┤ & │ A * B ┌───┐ A * B = A + B└───┘ _ │├───────┤o──────────────B ┌───┐ B ││└───┘────┤o─────┤│└───┘└───┘Рассмотрим ещецифровой технике:три функции получившие широкое применение в124.

И-НЕ"Штрих Шеффера"ABX001011101110A ┌────┐_____────┤ & │ Х = A * BB │о──────────────┤│└────┘По американскойспецификации milspec:A│ ┌───┐┌───────┐├──┘└─────────┘└───────└────────────────────────────────> tB│┌───┐┌───────┐├────────┘└──────┘└────└────────────────────────────────> tX├───────────────────┐┌───────│└────┘└────────────────────────────────> t5. ИЛИ-НЕ"Стрелка Пирса"ABX000010100111A ┌────┐___________────┤ 1 │ Х = А \/ B = A + BB │о───────────────────────┤│└────┘По американскойспецификации milspec:A│ ┌───┐┌───────┐├──┘└─────────┘└───────└────────────────────────────────> tB│┌───┐┌───────┐├────────┘└──────┘└────└────────────────────────────────> tX├──┐┌─┐┌───┐┌────│ └───┘ └───┘└──────────┘└────────────────────────────────> t13Дверассмотренныефункцииинтереснытем,чтоявляютсядостаточными для построения любой сложной функции, т.к.

содержат всвоем составе функцию И либо ИЛИ и инвертор.┌───┐ ______A ┌─┤ & │ A * A = A────┤ │o──────────└─┤│└───┘┌───┐ ______1 o──┤ & │ A * 1 = A│o──────────A ─────┤│└───┘6. "ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ" или СУММИРОВАНИЕ ПО МОДУЛЮ 2ABX000011101110A ┌────┐__────┤ =1 │ Х = A # B = AB + AB =B │о──────────────────────────┤│────────└────┘= AB + A BПо американскойспецификации milspec:A│ ┌───┐┌───────┐├──┘└─────────┘└───────└────────────────────────────────> tB│┌───┐┌───────┐├────────┘└──────┘└────└────────────────────────────────> tX│ ┌───┐ ┌───┐┌──┐┌──┐├──┘└─┘└───┘ └────┘ └────└────────────────────────────────> tA ┌───┐ A─────┤=1 ├──── Повторитель┌──┤│─┴─ └───┘._1 o ┌───┐ AA└──┤=1 ├──── Инвертор───────┤│└───┘14Рассмотрим наиболеераспространенные правила алгебры логики напримерах с минимальным количеством переменных:1: X = A * 0 = 0\││>││2: X = A * 1 = A3: X = A * A = A_4: X = A * A = 0/5: X = A + 0 = A\││>││6: X = A + 1 = 17: X = A + A = A_8: X = A + A = 1=9: X = A = Aзаконыконъюнкциизаконыдизъюнкции/двойная инверсия10: X = A * B = B * A\ переместительный>/ закон11: X = A + B = B + A12: X = (A * B) * C = A * (B * C) \сочетательный13: X = (A + B) + C = A + (B + C) /закон>14: X = A * (B + C) = AB + AC\15: X = A + BC = (A + B) * (A + C) />16: X = A + AB = Aзакон дистрибутивностиили распределительный{ A + BA = A (1 + B) }\│17: X = A (A + B) = A> законы__│ погло18: X = A + AB = A + B { (1 + A) (A + B) = A + B } / щения_19: X = AB + AB = B\законы_> склеивания20: X = (A + B) (A + B) = B/____21: X = AB = A + B\правила Де Моргана_______>или22: X = A + B = A * B/законы инверсии.15Пример: Задана в виде таблицы истинности логическая функция Yтрех переменных A,B,C.┌───┬───┬───┬───┐ Функция принимает единичное значение при│ А │ B │ C │ Y │├───┼───┼───┼───┤ следующих произведениях переменных:│ 0 │ 0 │ 0 │ 0 │__├───┼───┼───┼───┤ABC, ABC, ABC│ 0 │ 0 │ 1 │ 0 │├───┼───┼───┼───┤Каждое из произведений переменных для ║│ 0 │ 1 │ 0 │ 0 │║├───┼───┼───┼───┤ которых значение функции истинно, носит ║│ 0 │ 1 │ 1 │ 1 │║├───┼───┼───┼───┤ название МИНТЕРМА.║│ 1 │ 0 │ 0 │ 0 │├───┼───┼───┼───┤В соответствии с этим, функция может│ 1 │ 0 │ 1 │ 0 │├───┼───┼───┼───┤ быть записана в виде уравнения:│ 1 │ 1 │ 0 │ 1 │__├───┼───┼───┼───┤Y = ABC + ABC + ABC│ 1 │ 1 │ 1 │ 1 │└───┴───┴───┴───┘Если при такой записи каждое слагаемое содержит произведениявсехпеременныхфункцииПЕРВОЙилиназываютихотрицаний,СОВЕРШЕННОЙСТАНДАРТНОЙФОРМОЙ.тотакуюДИЗЪЮНКТИВНОЙТочнотакжеформупредставленияНОРМАЛЬНОЙможноФОРМОЙвыделятьилиложные(нулевые) значения функции.

Если функция дана в виде произведения(конъюнкции)суммпеременныхилиихотрицаний,тотакуюформупредставления функции называют СОВЕРШЕННОЙ КОНЪЮНКТИВНОЙ НОРМАЛЬНОЙФОРМОЙ или ВТОРОЙ СТАНДАРТНОЙ ФОРМОЙ.A┌──┐ ┌─────┐┌─────┐───────┬─────┬─┤ о──┤ & ││ 1 │B││ └──┘ ││││─────┬─┼───┬─┼───────┤├───┤│C│ ││ │││││───┬─┼─┼─┬─┼─┼───────┤││││ │ │ │ │ │├─────┤│││ │ │ │ │ └───────┤ & ││││ │ │ │ │││││ Y│ │ │ │ └─────────┤├───┤├───│ │ │ │┌──┐ │││││ │ │ └─────┤ о──┤││││ │ │└──┘ ├─────┤│││ │ └─────────────┤ & ││││ └───────────────┤├───┤│└─────────────────┤│││└─────┘└─────┘Для схемной реализацииполученнойфункциипотребуется:3 схемы,выполняющиефункцию 3И,1 схема3ИЛИ и2 схемы НЕ.16Пользуясь правилами алгебры логики упростим полученную функцию.______Y = ABC + ABC + ABC = ABC + AB (C + C) = ABC + AB = B (AC + A) =_= (правило 15) = B (A + A) (C + A) = B (C + A) = BC + ABПолученная функция и ее схемная реализация значительно прощеисходных.A┌───┐┌───┐A┌───┐┌───┐─────┤ & ├───┤ 1 │─────┤ & o───┤ & │B ┌─┤│││ YB ┌─┤│││ Y───┤ ├───┤│├───────┤ ├───┤│o────C └─┤ & ├───┤│C └─┤ & o───┤│─────┤│││─────┤│││└───┘└───┘└───┘└───┘────────Y = Y = AB + BC = AB * BC - для построения схемы наэлементахМожно было представить ту же самую функцию водинаковыхСОВЕРШЕННОЙКОНЪЮНКТИВНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ в виде произведения сумм:_____Y = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C)Такая запись слишком сложна для минимизации и реализации.Разработан метод минимизации логических функций, как быавтоматизирующий процедурупоиска"склеивающихся слагаемых - методКАРТ КАРНО.Карта Карно - это таблица имеющая ячейки для всех возможныхминтермовфункции.Можнопостроитьминтермы которых содержат два,более 5...6).триикартыболееКарнодляфункций,переменных (обычно неСоставим карту Карно для функции 2-х переменных: Вдольверхней грани проставлены возможные значения_AA┌────┬────┐││ _ │B │ AB │ AB │├────┼────┤_ │ _ │ _ _│B │ AB │ A*B│└────┴────┘переменной А,вдоль левой боковой грани -возможные значения переменной В.клетке изображают один изтермов:AB,В каждойвозможныхмин-AB, AB, AB.

Если какой-то изэтих минтермов в совершенной дизъюнктивной17нормальной формезаписифункцииприсутствует,товсоот-ветствующей клетке карты Карно ставится "1",если нет - то "0".Составим карты Карно для функций 3-х и 4-х переменных:--ABABABABABABABAB┌────┬────┬────┬────┐┌────┬────┬────┬────┐- │ ---│ - -│-│ --│-- │----│- --│ --│ ---│C │ ABC│ ABC│ ABC│ ABC│CD │ABCD│ABCD│ABCD│ABCD│├────┼────┼────┼────┤├────┼────┼────┼────┤│ -- │ - ││ - │- │--- │- - │ - │ -- │C │ ABC│ ABC│ ABC│ ABC│CD │ABCD│ABCD│ABCD│ABCD│└────┴────┴────┴────┘├────┼────┼────┼────┤│-- │││ - │Склеивание осуществляется междуCD │ABCD│ABCD│ABCD│ABCD│├────┼────┼────┼────┤теми минтермами, которые запи- │-- -│- -│-│ - -│CD │ABCD│ABCD│ABCD│ABCD│саны в виде "1" в соседних клет└────┴────┴────┴────┘ках карты (по вертикали или горизонтали).клетки крайнего левого и правого,Соседними считаютсяверхнегоинижнего(можно представить карту как развертку цилиндра).ма, находящиеся в соседних клетках можноодного логическогоДва минтер-представитьпроизведения переменных,одну единицу меньше,рядовввидечисло которых начем в каждом из соседних минтермов, при-чем в произведении остаются общие для обоих минтермов сомножители.

Если соседними окажутся сразу 4 минтерма с "1" тотакуюгруппу можно заменить произведением переменных,число которыхменьше, чемУчитывая, чтовкаждомА + А +...+ А = А,минтерме, ужеодну единицу,объединять пары несколько раз.надва.изображающую минтерм, можно18Используя методкартКарно минимизируем рассмотренную впримере функцию. Единица, изображающая минтерм АВС входит сра-ABABABABзу в два объединения, обозначенные- ┌────┬────┬────┬────┐C │ 0 │ 0 │ 1 │ 0 │a и b.

Объединение a отражает├────┼────┼─a│─┼────┤_C │ 0 │ 1 ─ 1 │ 0 │"склеивание" минтермов АВС и АВС└────┴────b────┴────┘__АВС + АВС = АВ (С + С) = АВ_объединение b отражает склеивание минтермов АВС и АВС__ABC + ABC = BC (A + A) = BCВ результате проведенных операций "склеивания" из трехминтермов, входящих в функцию и являющихся конъюнкцией трехпеременных, остались лишь слагаемые АВ и ВС.Отсюда: Y = AB + BC.194.

ОСНОВНЫЕ КОМБИНАЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА.Комбинационным называютустройство,состояниекоторого ║║однозначно определяется комбинацией входных сигналов и не за- ║║висит от предыдущего состояния.║4.1. Логические элементы.Выполняютоперацииинверсии(НЕ),конъюнкции(И),дизъюнкциисоставенесколько(ИЛИ) и более сложные комбинации этих функций.ЛогическаяИСможетсодержатьвсвоемэлементов одного типа. Логические элементы в функциональном отношенииявляются автономными и могут применяться в устройстве самостоятельно.ЦифровыеИСмогутмикроэлектронныхбытьпостроенытехнологий,новихсприменениемоснове,какразличныхправило,лежатсхемы, выполняющие функцию И-НЕ либо ИЛИ-НЕ.Параметрыреальныхлогическихсхемзависятоттипамикроэлектронной технологии.