Диссертация (Повышение надежности и экологической безопасности систем очистки сточных вод предприятий радиоэлектронной промышленности), страница 8

За это времямногостороннее развитие получил метод конечных разностей (МКР), основыкоторого были заложены еще до появления быстродействующих ЭВМ, возник идостиг высокого совершенства метод конечных объемов (МКО), сформировалосьотдельное направление, связанное с приложением к задачам динамики жидкости игаза метода конечных элементов (МКЭ), созданного изначально для решенияпроблем механики деформируемого твердого тела. Не претендуя на полноту,охарактеризуем различные методы с единственной целью прояснить причинылидирующегоположенияориентированныхнаМКОрешениевзадачразработкахвычислительныхгидрогазодинамикиисредств,конвективноготеплообмена в областях сложной геометрии.Метод конечных разностейисходныедифференциальныеоснован на аппроксимации входящих вуравненияпроизводныхихдискретными(разностными) аналогами.Несомненными достоинствами МКР являются высокая эффективность ипростота реализации, а также наглядность процедуры дискретизации, дающаявозможностьпостроениясхемвысокогопорядкадостоинства реализуются лишь при использованииточности.достаточноОднакоэти«хорошей»54регулярной (структурированной) сетки -почти ортогональной и с плавноменяющимися размерами ячеек.

Как следствие, подавляющее большинствоприложений МКР ограничено случаями сравнительно простых по геометриирасчетных областей.В определенной степени решение проблемы моделирования течений вобластях сложной геометрии было найдено в 1970-х гг., когда для дискретизацииуравнений гидродинамики стал широко применяться метод конечных объемов.Отправной точкой МКО является интегральная формулировка законов сохранениямассы, импульса, энергии и др.

Балансовые соотношения записываются длянебольшогоконтрольногообъема;ихдискретныйаналогполучаетсясуммированием по всем граням выделенного объема потоков массы, импульса ит.д.,вычисленныхпокаким-либоквадратурнымформулам.Посколькуинтегральная формулировка законов сохранения не накладывает ограничений наформу контрольного объема, МКО пригоден для дискретизации уравненийгидрогазодинамики как на структурированных, так и на неструктурированныхсетках с различной формой ячеек, что, в принципе, полностью решает проблемусложной геометрии расчетной области.Следует заметить, однако, что использование неструктурированных сетокявляется довольно сложным в алгоритмическом отношении, трудоемким приреализации и ресурсоемким при проведении расчетов, в особенности при решениитрехмерных задач.

Это связано как с многообразием возможных форм ячеекрасчетной сетки, так и с необходимостью применения более сложных методов длярешениясистемыалгебраическихуравнений,неимеющейопределеннойструктуры. Практика последних лет показывает, что развитые разработкивычислительных средств, базирующихся на использовании неструктурированныхсеток,посиламлишьдостаточнокрупнымкомпаниям,имеющимсоответствующие людские и финансовые ресурсы.

Гораздо более экономичным55оказывается использование блочно-структурированных сеток, предполагающееразбиение области течения на несколько подобластей (блоков) относительнопростой формы, в каждой из которых строится своя расчетная сетка.В целом такая составная сетка не является структурированной, однаковнутри каждого блока сохраняется обычная индексная нумерация узлов, чтопозволяетиспользоватьэффективныеалгоритмы,разработанныедляструктурированных сеток. Фактически, для перехода от одноблочной сетки кмногоблочной необходимо лишь организовать стыковку блоков, т.е. обменданными между соприкасающимися подобластями для учета их взаимноговлияния.

Заметим также, что разбиение задачи на отдельные относительнонезависимыеблокиестественнымобразомвписываетсявконцепциюпараллельных вычислений на кластерных системах с обработкой отдельныхблоков на разных процессорах (компьютерах). Все это делает использованиеблочно - структурированных сеток в сочетании с МКО сравнительно простым, ночрезвычайно эффективным средством расширения геометрии решаемых задач, чтоисключительно важно для небольших университетских групп, разрабатывающихсобственные программы в области гидрогазодинамики.Особенно широко используемый в механике деформируемого твердого теламетод конечных элементов опирается на вариационную задачу о минимумеошибкиаппроксимацииискомогорешениябазиснымифункциями,аненепосредственно на исходные «физические» уравнения.

Видимо, именно этадополнительная математическая нагрузка, делающая МКЭ более сложным дляпонимания и внесения порой требующихся модификаций, наряду с отсутствиемявныхпреимуществпосравнениюс МКОитрудностямиобеспечениянеобходимой точности описания тонких пограничных слоев является причинойотносительно низкой популярности МКЭ в вычислительной гидрогазодинамике.563.2Обзор программ для поставленных задач. Выбор программы длямоделирования узлов очистного оборудованияЛидирующеедискретизацииположениеуравненийМКОпоотношениюгидрогазодинамикикдругимподтверждаетсяспособамтенденциямисовременного рынка программного обеспечения. Достаточно заметить, что МКОиспользуется в таких всемирно известных гидродинамических пакетах, какF L U E N T , C F X , S T A R -C D , F I N E (N U M E C A ), C F D - A C E и др., причем первыеверсиивсехэтихпакетовбазировалисьнаиспользованииблочно -структурированных сеток, и лишь по мере накопления опыта и финансовой мощикомпании-разработчикиперешли(переходят)киспользованиюнеструктурированных сеток.Применение МКЭ для моделирования течений жидкости естественнымобразом возникло в гидродинамических приложениях к разветвленным конечно элементным программам, разработанным для упруго-термомеханического анализаконструкций;срединаиболееизвестныхможноназватьA N S Y S F lo tr a nиC O S M O S F lo w W orks.

Однако и в этой области заметен интерес разработчиков кМКО как более гибкому и технологичному способу дискретизации задачгидрогазодинамики; в этой связи симптоматичен выход в 2002 г. первой версииновогопакетаSTAR-Works,объединившегопоследниедостижениягидродинамического пакета S T A R - C D и системы проектирования S o lid W o r k s .Отмеченные выше достоинства МКО послужили основанием к тому, чтовначале 1990-х гг. именно этот подход с ориентацией на использование блочно структурированных сеток был выбран авторами в качестве основы для разработкисобственного пакета программ широкого профиля для задач гидрогазодинамики иконвективного теплообмена.

Время подтвердило правильность такого выбора:всего за 10 лет пакет SINF, развиваемый силами небольшой научной группы,принялвидсовременногопрограммногокомплекса,поддерживающего57моделирование сопряженного тепло и массообмена, сверхзвуковых и двухфазныхтечений, включающего широкий спектр моделей турбулентности, использующеговысокоточныечисленныесхемы,эффективныеалгоритмы,возможностипараллельных вычислений и практически не имеющего ограничений по геометриирасчетной области.Ниже дано детальное описание МКО, рассмотрены основные возможности иособенности программной реализации пакета SINF, приводятся примеры егоприменения для решения практических задач гидрогазодинамики в областяхсложной геометрии.Метод конечных объемовОсновные положения МКО удобно излагать, рассматривая «стандартное»уравнение баланса некой величины фв контрольном объеме Q, ограниченномповерхностью^ =внешней нормалью п (3.1)ФаQdÜц =рУ ф -аЩ(3Л)Здесь q - вектор плотности потока величины ф, включающий конвективнуюидиффузионнуюсоставляющие,Q-плотностьраспределенияобъемныхисточников, V - вектор скорости, р - плотность среды, а - коэффициент диффузии.В качестве фможет фигурировать, например, внутренняя энергия текущей среды,концентрация примеси, кинетическая энергия турбулентности и т.д.

В пределе,при стягивании объема в точку, можно на основании формулы Остроградского Гаусса переписать это уравнение в дифференциальной форме:(3.2)Отметим, что последняя, в силу более частого использования в литературе,иногда считается первичной, а интегральная формулировка закона сохранения(3.1) «выводится» из дифференциальной путем интегрирования по объему.58Согласно МКО пространственная дискретизация задачи осуществляетсяпутем разбиения расчетной области на небольшие соприкасающиеся объемы, длякаждого из которых записывается балансовое соотношение (3.1).

Внутри каждогоконтрольного объема находится одна (и только одна) точка «привязки» искомогосеточного решения. В большинстве разработок, ориентированных на решениетрехмерных задач для областей сложной геометрии, в качестве контрольногообъема используются ячейки расчетной сетки: узлы сетки располагаются ввершинах многогранника (для структурированных сеток -гексаэдра (рисунок5)сеточныелинииидутвдольегоребер,а значенияискомыхвеличинприписываются геометрическому центру ячейки. Альтернативные варианты(например, построение контрольного объема вокруг узла сетки или введениеразличных контрольных объемов для разных переменных) встречаются реже.Рис. 5 Структурированная сетка контрольных объемов с «привязкой»переменных к центру ячеек: - узел сетки, - центр ячейки, - центр граниДля получения дискретного аналога балансового уравнения в выбраннойячейке необходимо вычислить интегралы, входящие в (3.1), используя какие-либо59квадратурные формулы. При этом крайне важно, чтобы для соприкасающихсяячеек поверхностный интеграл по их общей грани S k вычислялся идентично.Последнее требование, легко реализуемое присоставлении компьютернойпрограммы, обеспечивает консервативность численной схемы, т.е.

точное (врамках принятого способа вычисления интегралов) соблюдение баланса фсогласноуравнению (3.1) для всей области течения. Это свойство МКО выгодно отличаетего от МКР и МКЭ, в которых реализация строгой консервативности схемыявляется скорее исключением, чем правилом.Способ аппроксимации интегралов влияет на такие важные свойствачисленной схемы, как точность, устойчивость, монотонность и другие.Рассмотрим наиболее популярные варианты аппроксимации, ориентируясь,главным образом, на структурированные сетки и используя принятую в такихслучаях «географическую» систему обозначений (смотрите рисунок.5):центртекущегоконтрольногообъема(i,j,k )помечаетсякакP (p o le ),центрысоприкасающихся с ним объемов - как E (e a st; i+ 1 ,j,k), N (n o rth ; i,j+ \,k ), W (w est; i—1,j,k) и т.д., центры их общих граней - соответствующими строчными буквами (e,n, w...).Поскольку для всех граней ячейки поверхностные интегралы в уравнении(3.1)вычисляются по одним и тем же правилам, рассмотрим для примера лишь«восточную» грань Se.Самые простые и широко используемые в МКО квадратурные формулывторого порядка точности непосредственно следуют из теоремы о среднемзначении.l gn.qdsK§^-+__^Здесь5е = S en e-Q dfï,Qdft&Qpn(3 3)условный вектор площади грани, вычисляемый каквекторное произведение ее д и аго н ал ей ,^- вектор плотности потока фв центреграни.60Если значение^/? вычислено со вторым порядком точности, то формулы(З)обеспечивают второй порядок аппроксимации уравнения (3.1).

Понижениеточности вычисления ^нем едленно сказывается на порядке точности численнойсхемы в целом. Для обеспечения же порядка аппроксимации строго выше второгопотребовалось бы не только улучшить точность вычисления,д^но и использоватьвместо (3.3) более точные квадратурные формулы, учитывающие изменение qвдоль поверхности (то же относится и к вычислению интегралов по объему). Этосопряжено как со значительным усложнением вычислений, так и с расширениемшаблона аппроксимации, вследствие чего схемы повышенного порядка точностине находят широкого практического применения. Иными словами, в рамках МКО,в отличие от МКР, весьма затруднительно построить численную схему с порядкомточности строго выше второго, что, впрочем, и не требуется для большинствапрактических приложений.С учетом сказанного, примем за основу квадратурную формулу(3.3) иобратимся к вопросу вычисления e q начнем с конвективной составляющей.