Интегралы 29 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-29Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-29Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частяманЗадача Кузнецов Интегралы 3-29Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-29. Получаем:Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 5-29Условие задачиantiGTРешениеанРешениеосВычислить неопределенный интеграл:СкачПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:Получаем:аносПрибавим ко второй строке первую:antiGTU.ruРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-29Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:аносПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:Прибавим к четвертому уравнению первое:U.rutiGTУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 7-29anТогда:РешениеанНайти неопределенный интеграл:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruанСкачТогда:осantiGTВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 8-29U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:Воспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:tiGTРешениеаносПодставим:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачU.ruанТогда:осantiGTВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 9-29U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеВоспользуемся подстановкой:СкачПодставим:аносanОткуда:Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTПолучаем:Условие задачиСкачанРешениеосВычислить определенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 10-29U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 11-29Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:РешениеanВведем подстановку:ПриСкачПолучаем:анПриосТогдаПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:U.rutiGTПолучаем:Условие задачиСкачЗамена:анРешениеосВычислить определенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 12-29Получаем:Задача Кузнецов Интегралы 13-29Условие задачиU.ruНайти неопределенный интеграл:Под интегралом дифференциальный бином- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.СкачаносТ.е. в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаanТак, какtiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 14-29U.ruУсловие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:ФункциюосantiGTРешениеможно представить как две функцииот:анСудя по графикам функций, нужная фигура ограничена лишь графикамиСкачНайдем пределы интегрирования:илитак какТогда:и.иtiGTНайдем площадь фигуры как разность площадей подграфиковU.ruСледовательно пределы интегрирования -Задача Кузнецов Интегралы 15-29anУсловие задачиСкачанРешение 1осВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.Найдем точки пересечения:длинойU.ruТак как функциипериодичны (с периодомВозьмем.

Тогда:tiGTилиПриПрина отрезке), то берем любой отрезок.Где:СкачаносanПлощадь фигуры найдем по формуле:Теперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямымиИ в результате получим:Решение 2Найдем точки пересечения:длинойU.ruТак как функциипериодичны (с периодомВозьмем.

Тогда:tiGTилиПриПри.аносПлощадь фигуры найдем по формуле:anна отрезке), то берем любой отрезокЗадача Кузнецов Интегралы 16-29Условие задачиСкачВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.antiGTU.ruРешениеи тогда получаем:СкачаносГдеЗадача Кузнецов Интегралы 17-29Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.Решение, определяется формулойU.ruДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-29Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.U.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойtiGTИз уравнений кривой находим:СкачаносanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 19-29Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.tiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 20-29Условие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.осanРешениеанВ сечении данной фигуры плоскостьюСкачПлощадь эллипса описываемого формулой:Найдем радиуса эллипса:находится эллипс:равнаU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 21-29tiGTУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.осanРешениечерези найдем пределы интегрирования:СкачВыразимявляется осью вращения, то объём находится по формуле:анПоскольку осьНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-29tiGTУсловие задачиУказание: Уравнение состояния газам,м,м.Площадь поршня:, гдеосРешениеanЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см.

рис.).Объём газа в процессе сжатия:анДавление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачПо определению элементарная работа– давление,– объем.осанСкачU.rutiGTanкДж.