Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 6

Последовательная структурная схемаЦифровые фильтры широко используются в цифровой обработкесигнала. Методы их расчета и реализации весьма разнообразны [27-38,45-57].Наибольшее распространение получила последовательная структурная схема,состоящая из цифровых звеньев второго и четвертого порядков.В диссертации предлагается способ расчета цифровых ФНЧ и ФВЧ покоординатам нулей и полюсов НЧ-прототипа. При таком подходе можноиспользовать последовательную структурную схему, состоящую из звеньевпервого порядка с комплексными коэффициентами.2.1.1.

Расчет цифровых фильтров по значениям полюсов НЧпрототипаПередаточная функция НЧ-прототипа может быть представлена в видерациональной дроби [1]:Na skkH ( s) k 0Nb s. (2.1)kkk 0NКорниуравненияa skk0называютсянулямипередаточнойk 0функции.NКорни уравненияb skk 0 называются полюсами передаточнойk 0функции.Если передаточная функция НЧ-прототипа задана только полюсами, тоее можно представить в следующем виде:46T (s)  T01, (2.2)(s  p1 )(s  p2 )(s  pi )....где p i - координаты полюсов на плоскости комплексной переменной s.Координаты полюсов в большинстве случаев имеют комплексныезначения. Используя метод обобщенного билинейного преобразования,можно найти передаточную функцию ФНЧ (ФВЧ).Пусть передаточная функция НЧ-прототипа ФНЧ (ФВЧ) звена первогопорядка имеет следующий вид:Ti ( s ) 1, где( s  pi )pi  pi1  jpi 2 .После замены переменной (ФНЧ):s  (1  z 1 ), где   ctg (w ) , получим(1  z 1 )11 z1  z 1K, гдеTi ( z ) i1  Pi z 1(  pi )  (  pi ) z 1Ki   pi1 Pi1  jPi 2 . K i1  jK i 2 , Pi   pi  piТакой передаточной функции T1(z) можно поставить в соответствиеследующую структурную схему (рис.2.1).Вход1Ki1Вход2Ki111Выход2-Pi2Pi2Z-1Выход1Pi1Z-1-Ki2Ki211Pi1Рис.2.1.

Структурная схема комплексного звена первого порядкадля ФНЧ47После замены переменной (ФВЧ):(1  z 1 )s  , где   tg (w ) , получим(1  z 1 )1Ti ( z ) Ki 1 z1  z 1, где Ki 11  Pi z 1(  pi )  (  pi ) z  pi1 Pi1  jPi 2 . K i1  jK i 2 , Pi   pi  piТакой передаточной функции T1(z) можно поставить в соответствиеследующую структурную схему (рис.2.2).Вход1Ki1Вход2Ki1-11Выход2-Pi2Pi2Z-1Выход1Pi1Z-1-Ki2Ki21-1Pi1Рис.2.2.

Структурная схема комплексного звена первого порядкадля ФВЧОтметим, что структурные схемы комплексных звеньев первогопорядка для ФНЧ и ФВЧ одинаковые и отличаются только значениямикоэффициентов.Схема фильтра будет состоять из последовательного соединениякомплексных звеньев первого порядка, тогда можно ввести общийкоэффициент равный произведению частных коэффициентовK 0  K 1  K 2  K 3...K i ...K NKi 1,(  p i )гдеp i   pi1  jpi 2 , в общем случае, комплексное число.48Если p i – вещественный полюс, тогдаK1 1 K , где K 1 - вещественное число.  p1  1Если имеется пара комплексно-сопряженных полюсов, тогдаK2  K3 1  p211 jp22    p21  jp22 1  p    p 2212 K 23 ,22где K 23 - вещественное числоЕсли передаточная функция содержит вещественные полюсы икомплексно-сопряженные пары полюсов, то произведение коэффициентовK i будет вещественным числом.Рассмотрим примеры расчета цифровых ФНЧ и ФВЧ, подтверждающиеработоспособность предложенного подхода.Пример 1.

Расчет цифрового ФНЧ с последовательной структурой позначениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета цифрового ФНЧс использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в видепроизведения сомножителей:T ( s) 111( s  p1 ) ( s  p 2 ) ( s  p3 )НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующимнабором полюсов [24]: p1 = -1, p2 = -0.5+j0.866025, p3 = -0.5-j0.866025.2.

Параметры цифрового ФНЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1. Определяем параметры ФНЧ: T0  1 , w W 0,1 .249В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно рассчитать ФНЧ с последовательной структурой.Сделаем в НЧ-прототипе замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   ctg (w )  3,077683 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФНЧ:T ( z )  0,01809856 1  z 11  z 11  0,50952545 z 1 1  (0,62525822  j 0,39341515 ) z 11  z 1.1  ( 0,62525822  j 0,39341515 ) z 1Этой передаточной функции можнопоставить в соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.3.Рис.2.3.

Структурная схема ФНЧ с комплексными коэффициентамиВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФНЧ, приведенная на рис.2.4.50Рис.2.4. АЧХ ФНЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.Пример 2. Расчет цифрового ФВЧ с последовательной структурой позначениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФВЧ с использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьегопорядка.Исходные данные:1.

Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в видепроизведения сомножителейT ( s) 111( s  p1 ) ( s  p 2 ) ( s  p3 )НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующимнабором полюсов [24]: p1 = -1, p2 = -0.5+j0.866025, p3 = -0.5-j0.866025.2. Параметры цифрового ФВЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1.

Определяем параметры ФВЧ: T0  1 , w W 0,1 .251В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно рассчитать ФВЧ с последовательной структурой.Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   tg (w )  0,3249197 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФВЧ:T ( z )  0,52742616 1  z 11  z 11  0,50952545 z 1 1  ( 0,62525822  j 0,39341515 ) z 11  z 1.1  ( 0,62525822  j 0,39341515 ) z 1Этойпередаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.5.Рис.2.5.

Структурная схема ФВЧ с комплексными коэффициентамиВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФВЧ, приведенная на рис.2.6.52Рис.2.6. АЧХ ФВЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.2.1.2. Расчет цифровых фильтров по значениям нулей и полюсовНЧ-прототипаЕсли передаточная функция задана нулями и полюсами, то ее можнопредставить в следующем виде:T (s)  K0где(s  n1 )(s  n2 )(s  ni )...., (2.3)(s  p1 )(s  p2 )(s  pi )....ni -координаты нулей, а pi - координаты полюсов НЧ-прототипа.Координаты нулей и полюсов в большинстве случаев имеюткомплексные значения. В такой ситуации, используя метод обобщенногобилинейного преобразования, можно найти передаточную функцию ФНЧ(ФВЧ). Пусть передаточная функция НЧ-прототипа ФНЧ (ФВЧ) звенапервого порядка имеет следующий вид:Ti ( s ) ( s  ni ), где ni  ni1  jni 2 , pi  pi1  jpi 2 .( s  pi )53После замены переменной (ФНЧ):s  (1  z1), где   ctg ( w  ) , получим(1  z 1)(  ni )  (  ni ) z 11  N i z 1T1 ( z ) K,i(  p i )  (  p i ) z 11  P i z 1где K i   ni  pi  ni Ki1  jKi 2 , N i  Ni1  jNi 2 , P i  Pi1  jPi 2 .  pi ni  piТакой передаточной функции T1(z) можно поставить в соответствиеследующую структурную схему (рис.2.7).Рис.2.7.

Структурная схема комплексного звена первого порядка для ФНЧПосле замены переменной (ФВЧ):(1  z1)s  , где   tg ( w  ) , получим(1  z1)T1 ( z ) (  ni )  (  ni ) z 11  N i z 1Ki ,(  p i )  (  p i ) z 11  P i z 1где K i   pi  ni  ni Pi1  jPi 2 . Ki1  jKi 2 , N i  Ni1  jNi 2 , P i  ni  pi  piТакой передаточной функции T1(z) можно поставить в соответствиеследующую структурную схему (рис.2.8).54Рис.2.8. Структурная схема комплексного звена первого порядка для ФВЧОтметим, что структурные схемы комплексных звеньев первогопорядка для ФНЧ и ФВЧ одинаковые и отличаются только значениямикоэффициентов.Схема фильтра будет состоять из последовательного соединениякомплексных звеньев первого порядка, тогда можно ввести общийкоэффициент равный произведению частных коэффициентовK 0  K 1  K 2  K 3...K i ...K NKi   ni, где n i   ni1  jni 2 , p i   pi1  jpi 2 .  piЕсли ni – вещественный нуль, pi – вещественный полюс, тогдаK1   n   K  p 11, где K1 - вещественное число1Еслиимеютсяпаракомплексно-сопряженныхнулейипаракомплексно-сопряженных полюсов, тогдаK2  K3  n  p jn22    n21  jn22    n21   n22 K ,  p21 2   p22 2 2321  jp22    p21  jp22 2221где K 23 - вещественное числоЕсли передаточная функция содержит вещественные полюсы (нули) икомплексно-сопряженныепарыполюсов(нулей),топроизведениекоэффициентов K i будет вещественным числом.Рассмотрим примеры расчета цифровых ФНЧ и ФВЧ, подтверждающиеработоспособность предложенного подхода.55Пример 3.

Расчет цифрового ФНЧ с последовательной структурой позначениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФНЧ с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядка.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка ввиде произведения сомножителей:T ( s) ( s  n1 ) ( s  n2 )1( s  p1 ) ( s  p 2 ) ( s  p3 )НЧ-прототип Чебышева (инверсный) третьего порядка описываетсяследующим набором нулей и полюсов [24]: n1 = j2.444659, n2 = -j2.444659,p1 = -1.134319, p 2 = -0.466685+j0.917031, p3 = -0.466685-j0.917031.2.