Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 4

Метод комплексной задержкиМетодкомплекснойзадержкипредполагаетнепосредственноепреобразование структурной схемы ФНЧ (ФВЧ) в структурную схемукомплексного фильтра путем замены задержек на комплексные задержки ивведении дополнительных сумматоров для обеспечения суммированиявещественных и мнимых составляющих сигналов [14]. При этом значенияпрямых и обратных связей сохраняются. После замены переменной z 1 наe j z 1 получим передаточную функцию комплексной задержки:0K ( z )  z (w) 1K ( z )  (cos0  j sin 0 ) z 1 (w) , где e j  cos0  j sin 0 , 0  2w0 .0Структурная схема комплексной задержки показана на рис.1.10.cos0sin 0 sin  0cos0Рис.1.10.

Структурная схема комплексной задержкиКаноническая структурная схема ФНЧ (ФВЧ), соответствующаяпередаточной функции: T ( z ) a0  a1 z 1  a2 z 2, показана на рис.1.11.1  b1 z 1  b2 z 2Рис.1.11. Структурная схема ФНЧ (ФВЧ)20Структурная схема комплексного полосового (режекторного) фильтра,реализованная методом комплексной задержки, показана на рис.1.12.cos 0cos 0sin  0 sin  0sin  0cos 0 sin  0cos 0Рис.1.12. Структурная схема комплексного полосового (режекторного)фильтра, реализованная методом комплексной задержкиОтметим, что изменяя два коэффициента в комплексных задержках,можно обеспечить перестройку комплексного фильтра по частоте безизменения формы АЧХ.Пример 1.

Расчёт цифрового комплексного полосового фильтра третьегопорядка с последовательной структурной схемойВ нашем случае используем такие исходные данные:1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в видепроизведения сомножителей:1s 2  5,97635763T ( s) .(s  1,134319) (s 2  0,93337s  1,05874074 )2.

Параметры комплексного полосового фильтра:Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированнаяполоса  W= 0,2.Методика расчета.1. Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1 , Wп=W= 0,1.2212. Используяметодобобщенногобилинейногопреобразования,рассчитываем ФНЧ с последовательной структурой. В нашем случаеиспользуется замена переменных следующего видаS (1  z 1 ), где   ctg (n )  3,07768354 .(1  z 1 )В результате подстановки получим произведение передаточныхфункций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.0,23741676  0,23741676z 1T(z) 1  0,46138731 z 11,15257211  0,52162194z 1  1,15257211 z  21  1,25540327z 1  0,57136289z  2Такой передаточной функции можно поставить в соответствиеследующую структурную схемуРис.1.13.

Структурная схема цифрового ФНЧАЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.14.Рис.1.14. АЧХ ФНЧЗатем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которыхсмещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте22полосового фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимозаменить переменную z 1 на e jФ z 1 . Мы получим передаточную функцию с0комплексными коэффициентами:0,23741676  0,23741676 e j z 1T( z ) 1  0,46138731 e j z 1001,15257211  0,52162194 e j z 1  1,15257211 e j2 z 2.1  1,25540327 e j z 1  0,57136289 e j2 z 20000Мы смещаем вправо на частоту w0 =0,25, тогдаф0 , а e j  j .20В результате мы получим следующую передаточную функцию,T( z ) 0,23741676  j 0,23741676z 11  j 0,46138731z 11,15257211 j 0,52162194z 1  1,15257211z 2.1  j1,25540327z 1  0,57136289z 2Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплекснойарифметики.

Структурная схема полосового комплексного фильтра показанана рис.1.15.Рис.1.15. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка(метод комплексной арифметики)23Теперь используем метод преобразования передаточной функции.Умножаемчислители исопряженныезнаменателизнаменатели.Всомножителейрезультатеполучимнакомплексно-знаменателисвещественными коэффициентами.T( z ) 0,23741676  j 0,34695784z 1  0,10954108z 21  0 z 1  0,21287825z  21,15257211  j 0,92532086z 1  1,15626315z  2  j1,14890738z  3  0,65853693z  4.1  0z 1  0,43331159z  2  0z  3  0,32645555z  4Такой передаточной функции можно поставить в соответствиеследующую структурную схему.Рис.1.16.

Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка(метод преобразования передаточной функций)Ранее мы получили передаточную функцию ФНЧ в виде произведенияпередаточных функций первого и второго порядка с вещественнымикоэффициентами.Такой передаточной функцииможнопоставить в24соответствиеструктурнуюсхему ФНЧ, (рис.1.13).

Преобразуемэтуструктурную схему в схему комплексного полосового фильтра на базекомплексных задержек. Такая схема для сдвига на четверть частотыдискретизации будет иметь следующий вид (рис.1.17).Рис.1.17. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка(метод комплексной задержки)АЧХтакихсхемах,полученнаяпутемсхемотехническогомоделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.18.Рис.1.18. АЧХ комплексного полосового фильтраСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.25Пример 2. Расчёт цифрового комплексного режекторного фильтратретьего порядка с последовательной структурной схемойВ нашем случае используем следующие исходные данные:1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в видепроизведения сомножителей:T ( s) 1s 2  5,97635763 2.(s  1,134319) (s  0,93337s  1,05874074 )2.

Параметры комплексного режекторного фильтра:Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированнаяполоса  W= 0,2.Методика расчета.1. Определяем параметры ФВЧ: Т0 = 1 , Wп=3. ИспользуяметодобобщенногоW= 0,1.2билинейногопреобразования,рассчитываем ФВЧ с последовательной структурой. В нашем случаеиспользуется замена переменных следующего вида(1  z 1 )S , где   tan(n )  0,3249197 .(1  z 1 )В результате подстановки получим произведение передаточныхфункций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.T(z) 0,68528884  0,68528884z 1 4,14417919  8,00061249z 1  4,14417919z 21  0,55467231z 11  1,29896215z 1  0,58670805z  2Такой передаточной функции можно поставить в соответствиеследующую структурную схемуРис.1.19.

Структурная схема цифрового ФВЧ26АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.20.Рис.1.20. АЧХ ФВЧЗатем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которыхсмещены вправо на частоту, соответствующую центральной частотережекторного фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимозаменить переменнуюz 1 на e jФ z 1 . Получим передаточную функцию с0комплексными коэффициентами:0,68528884  0,68528884 e j z 1T (z) 1  0,55467231 e j z 1004,14417919  8,00061249 e j z 1  4,14417919 e j2 z  21  1,29896215 e j z 1  0,58670805 e j2 z  20000Смещаем частотные характеристики вправо на частоту w0 =0,25, тогдаф0 , а e j  j .20В результате получим следующую передаточную функцию:0,68528884  j 0,68528884z 1T(z) 1  j 0,55467231z 14,14417919  j 8,00061249z 1  4,14417919z  21  j1,29896215z 1  0,58670805z  2Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплекснойарифметики.

Структурная схема режекторного комплексного фильтрапоказана на рис.1.21. АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена нарис.1.22.27Рис.1.21. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка(метод комплексной арифметики)Рис.1.22. АЧХ РФ для метода комплексной арифметикиТеперь используем метод преобразования передаточной функции.Умножаемчислители исопряженныезнаменателизнаменатели.Всомножителейрезультатеполучимнакомплексно-знаменателисвещественными коэффициентами.28T( z ) 0,68528884  j 0,30517809z 1  0,38011074z 21  0z 1  0,30766137z  24,14417919  j 2,61748057iz 1  3,81689032z  2  j 0,68910816z 3  2,43142329z  4.1  0z 1  0,51388657z  2  0z  3  0,34422634z  4Такой передаточной функции можно поставить, в соответствиеследующую структурную схему.Рис.1.23.

Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка(метод преобразования передаточной функций)АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результатесхемотехнического моделирования совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.22.29Ранее мы получили передаточную функцию ФВЧ в виде произведенияпередаточных функций первого и второго порядка с вещественнымикоэффициентами.соответствиеТакой передаточнойструктурнуюсхемуфункции можноФВЧ,(рис.1.19).поставить вПреобразуемэтуструктурную схему в схему комплексного режекторного фильтра на базекомплексных задержек. Для сдвига на четверть частоты дискретизации, такаясхема будет иметь следующий вид (рис.1.24).Рис.1.24. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка(метод комплексной задержки)АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результатесхемотехнического моделирования совпадает с показанной на рис.1.22.Пример 3.

Расчёт цифрового комплексного полосового фильтра третьегопорядка с параллельной структурной схемойВ нашем случае используем следующие исходные данные:301. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в видесуммы передаточной функции:T ( s) 5.6447847- 4.70399155 s 2.(s  1.134319) (s  0.93337 s  1.05874074 )2. Параметры комплексного полосового фильтра:Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированнаяполоса  W= 0,2.Методика расчета.1. Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1 , Wп=2. ИспользуяметодобобщенногоW= 0,1.2билинейногопреобразования,рассчитываем ФНЧ с параллельной структурой. В нашем случаеиспользуется замена переменных следующего видаS (1  z 1 ), где   ctg ( n )  3,07768354 .(1  z 1 )В результате подстановки получим сумму передаточных функцийпервого и второго порядка с вещественными коэффициентами. 1,08012114  1,08012114z 21,3401665  1,3401665z1T(z) 1  0,46138731z 11  1,25540327z 1  0,57136289z  2Такой передаточной функции можно поставить в соответствиеследующую структурную схему (рис.1.25).Рис.1.25.