Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 3

Пусть, например,T ( z) a0  a1 z 1  a 2 z 2  a3 z 3  a 4 z 4  a5 z 51  b1 z 1 b 2 z  2  b3 z  3  b4 z  4  b5 z  5. (1.1)Тогда каноническая структурная схема будет иметь следующий вид:Рис.1.1. Каноническая структурная схемаПередаточные функции НЧ-прототипов T(s) можно представить в видепроизведения или суммы звеньев первого и второго порядка, что позволяетполучить последовательную и параллельную структурные схемы цифровыхфильтров, осуществив замену переменной s(z) в функциях НЧ-прототиповзвеньев первого и второго порядков. Рассмотрим процедуру расчетаструктурных схем цифровых звеньев по прототипам первого и второгопорядков.12Обобщенные передаточные функции НЧ-прототипов первого и второгопорядков имеют вид:a a sT1 ( s )  10 11b10  b11s, T2 ( s ) a 20  a 21s  a 22 s 2b20  b21s  b22 s 2.Формулы замены переменных для ФНЧ и ФВЧ приведены в табл.

1.1.Таблица 1.1. Формулы замены переменныхТип фильтраФормула заменыПараметры заменыФНЧ 1  z  1 s1  z 1   ctg wn ФВЧ 1  z 1 s1  z 1   tg wn Для описания цифровых фильтров, в работе используются различныечастоты: циклическую частоту f в Гц, круговую частоту  в рад/с, цифровуючастоту  в рад и безразмерную нормированную частоту w. Эти частотысвязаны между собой следующим соотношение,  2w  wT ,где T – период дискретизации, w – нормированная цифровая часта.wf ,д f дгде д и f д – соответствующее частоты дискретизации.После замены переменной, соответствующей ФНЧ,(1  z 1 ), где   ctg (  w  ) , получимs (1  z 1 )10  11 z 1 10  11z 1,T1 ( z ) 1  11z 110  11z 1 20   21z 1   22 z 2 20  21z 1  22 z 2, гдеT2 ( z )  20   21 z 1   22 z  21   21z 1   22 z  21310  (a10  a11 ), 11  (a10  a11 ), 10  (b10  b11 ), 11  (b10  b11 ), 20  (a20  a21  a22 2 ),  21  (2a20  2a22 2 ),  22  (a20  a21  a22 2 ), 20  (b20  b21  b22 2 ),  21  (2b20  2b22 2 ),  22  (b20  b21  b22 2 ),10  10, 11  11 ,11  11 ,10101020  20, 21  21 , 22  22 ,  21  21 ,  22  22 . 20 20 20 20 20Структурная схема, реализующаяпередаточнуюфункцию T1(z)показана на рис.1.2. 10 11  11Рис.1.2.

Звено первого порядка ФНЧСтруктурная схема, реализующаяпередаточнуюфункцию T2(z)показана на рис.1.3. 20 21 22  21  22Рис.1.3. Звено второго порядка ФНЧПосле замены переменной, соответствующей ФВЧ,(1  z 1 )s  , где   tan(  w  ) , получим(1  z 1 )T1 ( z ) 10  11 z 1 10  11 z 1,10  11 z 1 1  11 z 1T2 ( z )  20   21 z 1   22 z 2 20  21 z 1  22 z 2, где 20   21 z 1   22 z 21   21 z 1   22 z 21410  (a10  a11 ),11  (a10  a11 ), 10  (b10  b11 ), 11  (b10  b11 ), 20  (a20  a21  a22 2 ), 21  (2a20  2a22 2 ), 22  (a20  a21  a22 2 ), 20  (b20  b21  b22 2 ),  21  (2b20  2b22 2 ),  22  (b20  b21  b22 2 ),10  10, 11  11 , 11  11 ,10101020  20, 21  21 , 22  22 ,  21  21 ,  22  22 . 20 20 20 20 20Структурная схема, реализующаяпередаточнуюфункцию T1(z)показана на рис.1.4. 10 11 11Рис.1.4.

Звено первого порядка ФВЧСтруктурная схема, реализующаяпередаточнуюфункцию T2(z)показана на рис.1.5. 20  21 22 21  22Рис.1.5. Звено второго порядка ФВЧОтметим, что вид структурных схем ФНЧ и ФВЧ будет одинаковым.Они отличаются только параметрами связей, которые надо рассчитывать поприведенным выше формулам.1.1.Метод смещения частотных характеристикОдним из вариантов получения передаточных функций комплексныхцифровых полосовых (режекторных) фильтров является метод смещения15частотных характеристик дискретного ФНЧ (ФВЧ) по частоте путем заменына (    ) [1,2]. Будем считать, что смещение переменной -положительное число.

Тогда для смещения в область отрицательных частот надо заменить на (    ). При смещении форма частотной характеристикисохраняется. При этом полоса пропускания полосового (режекторного)фильтра будет равна удвоенному значению граничной частоты полосыпропускания ФНЧ (ФВЧ).Если передаточная функция исходного дискретного ФНЧ (ФВЧ)дробно-рациональная с вещественными коэффициентамиNn1a  a z  ...  an zT ( z )  0 1 1b0  b1 z  ...

 bn z na znnn 0N, (1.2)b znnn 0то после замены переменной z 1 на e j 2 z 1 , получим передаточную функциюс комплексными коэффициентами, соответствующую смещенным в областьположительных частот частотным характеристикам:NN ane jnT z  nT (z) n0Nb enzcos(nT )  jan sin( nT )]z  n [bnnjnT [an. (1.3)n0Nnn0cos(nT )  jbn sin( nT )]zn0Полученная передаточная функция с комплексными коэффициентамиможет быть реализована в виде структурной схемы путем использованиялибометодапреобразованияпередаточнойфункции,либометодакомплексной арифметики.1.2. Метод преобразования передаточной функцииПреобразуем функцию T (z) (1.3):NNa ejnTnT ( z) z nn0Nnn0nb ejn Tz nNan0Nbnn0cos( nT ) z  n  j  an sin( nT ) z  nn 0Ncos( nT ) z  n  j  bn sin( nT ) z  nA1 ( z )  jA2 ( z )B1 ( z )  jB2 ( z )n 016Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексносопряженныезнаменатели.Врезультатеполучимзнаменателисвещественными коэффициентами.A1 ( z )  jA2 ( z )  B1 ( z )  jB2 ( z )A1 ( z ) B1 ( z )  A2 ( z ) B2 ( z )B12 ( z )  jB22 ( z )B12 ( z ) 2B2 ( z )jA2 ( z ) B1 ( z )  A1 ( z ) B2 ( z )B12 ( z )  B22 ( z ) T1 ( z )  jT2 ( z )где T1 ( z ) и T2 ( z) _ дробно-рациональные функции 2N-го порядка свещественными коэффициентами.Рассмотрим пример построения структурной схемы, реализующейКДФ, на основе ФНЧ второго порядка.

Тогда функции T1 ( z) и T2 ( z ) будутиметь четвертый порядок:T1 ( z ) T2 ( z ) a10  a11 z 1  a12 z 2  a13 z 3  a14 z 41  b1 z 1 b 2 z  2  b3 z 3  b4 z  4, (1.4)a20  a21z 1  a22 z 2  a23 z 3  a24 z 4. (1.5)1  b1z 1 b 2 z  2  b3 z  3  b4 z  4Структурная схема рекурсивного комплексного цифрового фильтра,преобразующего вещественный сигнал в комплексный, показана на рис.1.6.Рис.1.6. Преобразование вещественного сигнала рекурсивным комплекснымцифровым фильтромСтруктурная схема комплексного цифрового фильтра, фильтрующегокомплексный сигнал, показана на рис.1.7.17Рис.1.7. Преобразование комплексного сигнала рекурсивным комплекснымцифровым фильтромОтметим, что описанный метод при изменении центральной частотыфильтра требует пересчета большого числа параметров структурной схемы,что приводит к существенному увеличению объема памяти при реализацииперестраиваемых по частоте комплексных фильтров.1.3.

Метод комплексной арифметикиИспользуя метод смещения частотной характеристики цифрового ФНЧ(ФВЧ) второго порядка, мы получим передаточную функцию полосовогокомплексногофильтраT(z),котораябудетсодержатькомплексныекоэффициентыa0  a1e jT z 1  a2e j 2T z 2 a 0  a1 z 1  a 2 z 2. (1.6)T ( z) 1  b1z 1  b 2 z  2b0  b1e jT z 1  b2 e j 2T z  2, где a 0 a0aabb, a1  1 e jT , a 2  2 e j 2T , b1  1 e jT , b 2  2 e j 2Tb0b0b0b0b0a 0  a01  ja02 , a1  a11  ja12 , a 2  a21  ja22 , b1  b11  jb12 , b 2  b21  jb22, где a01 a0aaa, a02  0 , a11  1 cos T , a12  1 sin T , a21  2 cos T ,b0b0b0b018a22 a1bbbbsin T , b11  1 cos T , b12  1 sin T , b21  2 cos T , b22  2 sin T .b0b0b0b0b0Операцияумножениякомплексногосигналанакомплексныйкоэффициент реализуется с помощью четырех перемножителей и двухсумматоров, что отражено на рис.1.8.(a1 + ja2)*(x1 + jx 2) = (a1 x1 - a2 x2) + j (a1 x2 - a2 x1)Рис.1.8.

Структурная схема комплексной арифметикиРеализуем каноническую схему с комплексными коэффициентами. Онабудет содержать четыре сумматора для суммирования вещественных имнимых составляющих сигналов.Используя граф операции умножения на комплексный коэффициент,получимструктурнуюсхемукомплексногофильтра,содержащуюарифметические операции с вещественными числами. Она показана нарис.1.9.Рис.1.9. Структурная схема комплексного фильтра, содержащая операцииумножения на комплексные коэффициенты19Отметим, что описанный метод при изменении центральной частотыфильтра требует пересчета большого числа параметров структурной схемы,что приводит к существенному увеличению объема памяти при реализацииперестраиваемых по частоте комплексных фильтров.1.4.