Интегралы 28 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-28Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-28Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:U.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямtiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-28анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-28. Получаем:Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеanЗамена:осПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 5-28анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:U.ruПолучаем:antiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачаносПрибавим ко второй строке первую умноженную на 2:Тогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-28Условие задачиU.ruВычислить неопределенный интеграл:РешениеосantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:анПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на -2:СкачПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:Прибавим к четвертому уравнению первое умноженное на 4:U.rutiGTУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 7-28anТогда:РешениеанНайти неопределенный интеграл:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанТогда:осU.ruantiGTВычтем из третьего уравнения первое умноженное на 2:Задача Кузнецов Интегралы 8-28Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:РешениеtiGTВоспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:СкачаносПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-28Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся подстановкой:antiGTОткуда:аносПодставим:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 10-28СкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 11-28U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеЗамена:anПолучаем::СкачПолучаем:аносРазделим знаменатель и числитель наЗадача Кузнецов Интегралы 12-28Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTЗамена:аносanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 13-28Условие задачиСкачНайти неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом дифференциальный бином, откудаU.ruТак, как- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.tiGTТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:аносanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 14-28Условие задачиСкачВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:tiGTU.ruРешениеНаходим ординаты точек пересечения графиков функцийочевидно:В случаеочевидно:СкачЗамена:анВычисляем площадь:осanВ случаеПолучаем::U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 15-28Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.anРешениеаносНайдем точки пересечения:Так как функции.

ВозьмемСкачлюбой отрезок длинойпериодичны (с периодом), то берем. Тогда:илина отрезкеИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:и ее площадь можно посчитатьU.rutiGTanосанЗадача Кузнецов Интегралы 16-28Условие задачиСкачВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.то получимоткудаосТак какantiGTU.ruРешениеСкачанТогда искомая площадь равна:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 17-28Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.anРешениеосДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачанНайдем производную данной функции:Тогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 18-28Условие задачиanВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.осРешениеанДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:СкачНайдем производные поТогда по приведенной выше формуле имеем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 19-28Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.anРешениеосДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойДля кривой, заданной уравнениемСкачанПолучаем:, найдем:Задача Кузнецов Интегралы 20-28Условие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.U.rutiGTРешениенаходится эллипс:anВ сечении данной фигуры плоскостьюПлощадь эллипса описываемого формулой:равнаСкачаносНайдем радиуса эллипса:Задача Кузнецов Интегралы 21-28Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.tiGTU.ruРешениеявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Выразими найдем пределы интегрирования:черезanПоскольку осьТеперь найдем нижний предел:осИз условия задачи уже имеем:СкачанНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:Задача Кузнецов Интегралы 22-28tiGTU.ruУсловие задачиЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см. рис.).м,м,м.РешениеПлощадь поршня:– давление,– объем.осОбъём газа в процессе сжатия:, гдеanУказание: Уравнение состояния газаДавление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачанПо определению элементарная работакДж.