Интегралы 25 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-25Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-25Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:tiGTU.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямanОбозначим:аносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-25СкачУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:Решение. Получаем:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 4-25tiGTУсловие задачиВычислить определенный интеграл:аносanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-25СкачУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеU.ruПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Получаем:осantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанПрибавим ко второй строке первую:Тогда получаем:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 6-25У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки).Подробней см.

нижеtiGTУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:anРешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:Прибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:U.rutiGTанСкачТогда:осanПрибавим к четвертому уравнению первое:Задача Кузнецов Интегралы 6-25(2)У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки).Подробней см. вышеУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачаносПрибавим ко второму уравнению первое умноженное на 6:Прибавим к четвертому уравнению третье умноженное на -2:U.ruantiGTПрибавим к четвертому уравнению первое:осТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-25Условие задачиСкачРешениеанНайти неопределенный интеграл:Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачТогда:U.ruаносantiGTВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 8-25U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:Воспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:tiGTРешениеаносПодставим:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruанСкачТогда:осantiGTВычтем из второго уравнения четвертое:Задача Кузнецов Интегралы 9-25У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки).Подробней см.

нижеУсловие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:РешениеtiGTВоспользуемся подстановкой:анПодставим:осanОткуда:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 9-25(2)У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки).Подробней см. вышеУсловие задачиanВычислить определенный интеграл:осРешениеВоспользуемся подстановкой:СкачанОткуда:Подставим:U.ruantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 10-25анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.rutiGTanосанЗадача Кузнецов Интегралы 11-25Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:СкачаносantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 12-25Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTЗамена:anПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 13-25СкачанНайти неопределенный интеграл:СкачаносantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 14-25Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:равна:Сделаем замену переменной:аносоткудаПрии приТогда получимanИскомая площадьtiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 15-25Условие задачиСкачВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.tiGTU.ruРешениеanНайдем точки пересечения:отрезок длинойпериодичны (с периодом.

Возьмемили. Тогда:анна отрезке), то берем любойосТак как функцииСкачИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:и ее площадь можно посчитатьU.rutiGTanЗадача Кузнецов Интегралы 16-25осУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачанРешението получимоткудаU.ruТак какСкачаносantiGTИз рисунка видно, что в силу симметрии искомая площадь равна:Задача Кузнецов Интегралы 17-25Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.Решение, определяется формулойU.ruДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Заметим, чтоU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 18-25Условие задачиanВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.осРешениеанДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:СкачНайдем производные поПолучаем:U.rutiGTУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 19-25РешениеосВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.СкачанДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойДля кривой, заданной уравнениемПолучаем:, найдем:U.rutiGTanВмы использовали формулу:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 20-25РешениеанВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.СкачВ сечении данной фигуры плоскостьюПлощадь эллипса с радиусамииПо определения радиуса эллипса:равнанаходится эллипс:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 21-25tiGTУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.является осью вращения, то объём находится по формуле:СкачПоскольку осьаносanРешениеВыразимчерези найдем пределы интегрирования:Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-25antiGTУсловие задачиосЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см. рис.).Указание: Уравнение состояния газам,м,РешениеанПлощадь поршня:м.СкачОбъём газа в процессе сжатия:Давление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:По определению элементарная работа, где– давление,– объем.осанСкачU.rutiGTanкДж.