Интегралы 24 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-24Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-24Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:tiGTU.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямanОбозначим:аносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-24Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-24.

Получаем:Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-24Условие задачиanВычислить неопределенный интеграл:осРешениеСкачПолучаем:анПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanПрибавим ко второй строке первую:осТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-24анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:аносПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:СкачПрибавим к четвертому уравнению первое:U.rutiGTТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-24Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:РешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Вычтем из третьего уравнения первое:U.rutiGTanСкачаносТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-24Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:tiGTОткуда:СкачаносanПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-24Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTВоспользуемся подстановкой:anОткуда:СкачаносПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 10-24Условие задачиВычислить определенный интеграл:осantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 11-24Условие задачиСкачанВычислить определенный интеграл:осantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 12-24Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:U.rutiGTПолучаем:Условие задачиосНайти неопределенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 13-24анРешениеСкачПод интегралом дифференциальный бином, откудаТак, как, где- знаменатель дробиТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:- целое, то используем замену:.U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 14-24Условие задачиantiGTПолучаем:СкачанРешениеосВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:U.ruНайдем пределы интегрирования:Задача Кузнецов Интегралы 15-24осУсловие задачиantiGTТогда площадь фигуры будет:СкачРешениеанВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями..anТогда абсциссы точек пересечения будут:СкачаносВычисляем площадь:ГдеtiGTИз условия задачи, интервалU.ruНайдем точки пересечения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 16-24Условие задачиtiGTВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачаносanРешениеГдеи тогда получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 17-24Условие задачиanВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеосДлина дуги кривой, заданной уравнениеманНайдем производную данной функции:СкачТогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойU.rutiGTУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 18-24РешениеаносВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.СкачДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойНайдем производные по:Тогда по приведенной выше формуле имеем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 19-24Условие задачиanВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеосДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойДля кривой, заданной уравнениемСкачанПолучаем:, найдем:мы использовали формулу:Задача Кузнецов Интегралы 20-24Условие задачиtiGTВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.U.ruВПлощадь эллипса описываемого формулой:СкачанНайдем радиуса эллипса:находится эллипс:осВ сечении данной фигуры плоскостьюanРешениеравнаЗадача Кузнецов Интегралы 21-24U.ruУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.antiGTРешениеявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Выразими найдем пределы интегрирования:анчерезосПоскольку осьИз условия задачи уже имеем:СкачНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:Задача Кузнецов Интегралы 22-24tiGTU.ruУсловие задачиЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см.

рис.).м,м,м.РешениеПлощадь поршня:– давление,– объем.осОбъём газа в процессе сжатия:, гдеanУказание: Уравнение состояния газаДавление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачанПо определению элементарная работакДж.