01.02.04 (Программы вступительных экзаменов в аспирантуру по направленностям)

1. Численные методы Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, метод прогонки, метод простых итераций, метод Якоби, метод Зейделя. Решение нелинейных уравнений: метод половинного деления, метод Ньютона (метод касательных), метод простой итерации. Постановка задач приближения функций, задача интерполяции.

интерполяционный полином Лагранжа, интерполяционный полином Ньютона, погрешность полиномиальной интерполяции, сплайн-интерполяция, тригонометрическая интерполяция. Метод наименьших квадратов. Численное дифференцирование и численное интегрирование функций: метод Рунге, формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона, процедура Рунге оценки погрешности и уточнения формул численного интегрирования. Решение задачи Коши: методы Эйлера ~явный), погрешность метода Эйлера, неявный метод Эйлера, метод Эйлера-Коши„неявный метод Эйлера-Коши, метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой, первый улучшенный метод Эйлера, методы РунгеКутты„дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, метод Адамса, метод Адамса-Бэшфортса-Моултона.

Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений: метод стрельоы, конечноразностный метод, Численное решение уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов, Метод конечных разностей решения многомерных задач математической физики. Методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов, 2. Дяффереициальные уравнения Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводяшиеся к однородным, линеЙные уравнения, уравнен~~ в п~лны~ дифференциалах.

Задача Коши. Теорема сушествования и единственности решения задачи Коши. Понятие особого решения дифференциального уравнения. Огибающая семейства кривых, Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Рюши, Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши, Понятие общего и частного решений. Уравнения допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Линейно-зависимые и ли нейнонезависимые системы функций. Определитель Бронского, его свойства. ЛинеЙные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаментальная система решений. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных, Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Системы дифференциальных уравнений, Нормальные системы, Решение нормальной системы методом исключения. Задача Коши для нормальных систем. Элементы теории устойчивости. 3. Уравнении математической физики Осно~н~е типы уравнений математической физики и методы их вы~ода из физических моделеЙ; методы точного решения базовых уравнений математической физики; понятие фундаментального решения 1функции Грина); основные типы специальных функций; методы решения уравнений с частными производными ! -Го порядка, уравнения диффузии 1теплопроводности), волновое и Гель~~ол~ца с постоянными козффициентами, уравнение Шредингера для одномерного осциллятора; классическими методами решения уравнений математической физики 1характеристик, разделения переменных, преобразования Фурье, отражения, функции Грина), при анализе математических моделей р~а~ьны~ с~ст~м, 4.

Основы теории упругости п пластичности Основные уравнения и теоремы механики сплошных сред. Основы тензорного анализа. Напряжения и деформации. Главные напряжения, инварианты, шаровая пасть и девиатор, Основные понятия теории пластичности, Условие пластичности Треска. Площадки максимальных касательных напряжений. Поверхность текучес'1'и, соотВетствующая услоВи1о текучести Треска. Функция нагружения Мизеса. Физическая интерпретация условия пластичности Мизеса. Предположения о компонентах тензора напр~ж~нии.

Функция ~~~р~же~~Й. У~~~~~~ ~~ас~~чност~. Условия пластичности Треска и Мизеса для рассматриваемых задачи. Литература 1. Эльсгольц Л,И. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.- М., Наука, 2004. 2, Петровский И.Г, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М., Наука, 2002. 3, Тихонов А.Н., Самарский А.А, Уравнение математической физики. МГУ, Наука. 2004 г. 4, Будак Б.Н., Самарский А.А„Тихонов А.Н.

Сборник задач по математической физике. ФИЗМАТЛИТ, 2003 г. 5. Седов Л,И. Механика сплошной средь1 1 и 2 том. Изд-во Лань. 2004. 6. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. Изд. ЛКИ, 2007 г. 7. Ильюшин А.А. Труды 11946-1966). Т. 2. Пластичность. — М. ФМ, 2004.

8. Зуев В.В. «Определяющие соотношения и динамические задачи для упруго-пластических сред с усложненными свойствами.» - М,: ФМ„2006. - 174 9. Ивле~ Д,Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. - М., Наука, 1971, 232с. 10. Циглер Ф, Механика твердых тел и жидкостей.

Перевод с англ.— Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 912 с 11. Иванов К,М. «Прикладная теория пластичности» - СПб.: Политехника, 2009. — 375 с. 12. Кормен Т., Лейрерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.. «Алгоритмы: построение и анализ»,~ Пер. с англ, — 2-е изд, — М.: Вильямс, 2005, — 1296 с. 13. Рябенький В.С. 13ведение в вычислительную математику.- М., Физматлит, 2000. 14. Бахвалов Н.С., Жидков НХ1., Кобельков Г,М. Численные методы,- М.,Наука, 1987, 15, Бабенко К.И. Основы численного анализа,- М., Наука, 1986. В,С. Кондратенко .