01.01.07 (Программы вступительных экзаменов в аспирантуру по направленностям)

Фсдсрадьное государствсннос бюджетное образоватсдьнос учрсждсннс вькнсто образованна «всосковский технологический университет» Программа вступительного экзамена Уройень ВмсшеГО Образований Подготоакй 1сйдрой йысгией каалификйиии ИйпраБление пОдГОтОВки 02,06.01 «Компьютерные и информаииониые науки» Направленность (научная спениальнОсть) О1,01.07 «Вычислительнаи математика» МОСКВВ„2016 1. Численные методы Аппроксимация функций ~онечноЙ частью рядов Тейлора и оценка точности аппроксимации. Алгебраическая интерполяция функций, Теорема сушествовании и единстВенности интерпОляционнОГО полинома, Интерполяционные формы Лагранжа и Ньютона, кусочно-многочленная интерполяция функций, оценка ее точности.

Интерполяция функций нескольких переменных. Полиномы Чебышева и их свойства. Теорема Чебышева о свойстве его полиномов первого рода на умение уклоняться от нуля. Применение теоремы Чебышева для Выбора наилучшей алгебраической интерполяции функций. Тригонометрическая интерполяция периодических функций. Теорема с~шествов~н~~ и единственности интерполяционного тригонометрического полинома для периодических функций. Оценка точности тригонометрической интерполяции, чувствительность тригонометрической интерполяции к погрешностям в данных. Числа Леоега как характеристика чувствительнОсти к погрешностям В данных, их оценка для тригонометрической интерполяции. Методы численного интегрирования функций. Квадратурная формула трапеций и оценка ее точности.

Квадратурная формула Симпсона и оценка ее точности. Приближенное вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло для приближенного вычисления площадей, объемов и кратных интегралов. Система линейных алгебраических уравнений и точны» методы их решения. НормироВанные пространства. линейные опера~оры в нормированных Г~ространствах. Ооусловленность системы линейных алГеораических ураВнений, число ОоуслОВленностей и еГО Оценки.

Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимые и достаточные условия сходимости простых итераций для систем линейных алгебраических уравнений. Итерационный метод решения сис Гем линейных алгебраических уравнений с самосопряженной и положительно-определенной матрицей. Переопределенные системы линейных алгебраических уравнений, нахождение их обобщенных решений. Метод простых итераций для решения нелинейного алгебраического уравнения, необходимое и достаточное условие сходимости.

Метод Ньютона для решения нелинейного алгебраического уравнения. Метод простых итераций для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, необходимое и достаточное условие сходимости простых итераций. Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 2. Дифференциальные уравнения Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения, уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши. Теорема сушествования и единственности решения задачи Коши, Понятие особого решения дифференциального уравнения, Огибаюшая семеЙСТВВ кривых, Дифференциальные уравнения высших порядков.

Задача Коши, Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие общего и частного решений. Уравнения допускающие понижение порядка. Линейе1ые дифференциальные уравнения высших порядков. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаментальная система решений. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с п~с~оянным~ коэффициентами со с~еци~~~~оЙ правой частью. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Решение нормальной системы методом исключения. Задача Коши для нормальных систем. Элементы теории устойчивости. 3.

Уравнения математической физики Основные типы уравнений математической физики и методы их вывода из физических моделей; методы точного решения базовых уравнений математической физики; понятие фундаментального решения Ефункции Грина); основные типы специальных функций; методы решения уравнений с частными производными 1-го порядка, уравпееееея диффузии (теплопроводности), ~олн~вое и Гельмгольца с ~~с~оян~ыми коэффициентами, уравнение Шредингера для одномерного осциллятора; классическими методами решения уравнений математической физики (характеристик, разделения переменных, преобразования Фурье, отражения„ функции Грина), при анализе математических моделей реальных систем.

4. Математическое программирование Целевые функции и ограничения в задачах математического программирования. Задачи линейного программирования. Идея симплекс-метода решения задач линейного программирования. Введение дополнительных переменных в задачах линейного программирования. Симплекс-таблицы в линейном программировании. Опоре1ые планы в задачах линейного прогрзммированйя. Преобразование симплекс-таблицы в задачах линейного программирования при изменении опорного плана, Метод улучшения опорного плана. Критерий оптимальности опорного плана.

Введение искусственных переменных для задачи поиска начального опорного плана, метод штрафных функций в задачах линейного программирования. Алгоритм решения задач линейного программирования общего вида на основе симплекс-метода. Основы модифицированного симплекс-метода линейного программирования, Нессиметричная пара двойственных задач линейного программирования.

Определение решения двойственной задачи по решению прямой задачи линеЙн~го про~раммир~вани~. ДвоЙственныЙ симплекс-ме1од линейно~~ Литература 1. Рябенький В,С. Введение в вычислительную математику.- М., Физматлит, 2000, 2, Бахвалов Н.С,, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы,- М., Наука, 1987. 3. Бабенко К.И. Основы численного анализа.- М., Наука, 1986. 4. Эльсгольц Л.И.

Дифференциальнь|е уравнения и вариацпонное исчисление.- М., Наука, 2004. 5. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М., Наука„2002, 6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. МГУ, Наука, 2004 г. 7. Булак Б.Н., Самарский А.А., Тихонов А,Н, Сборник задач по математической физике. Фнзматлит, 2003 г. 8.

Кормен Т., Лейрерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. <сАлгоритмы: построение и анализ» ~ Пер. с англ. — 2-е изд. - М.: Вильямс, 2005 9. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. «Линейное и нелинейное программирование» вЂ” К.: Виша школа, 1975 10. Гасе С. «Линейное программирование» -- М.: Мир, 1971 11. Базара М., Шеззи К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы» — М.: Мир, 1982 Директор Физико-технологического института В,С. Кондратенко программирования. Обоснование двойственного симплекс-метода линейного программирования. Не линейные оптимизационные задачи.

Теория Лагранжа реше~ия и~линейных оптимизационных зада~ с ограничениями типа равенства. Обоснование метода множителей Лагранжа для решения нелинейных оптимизационных задач с ограни <ениями типа равенства. Дифференциальная сВязь между множителями Лагранжа и Оптимальными значениями целевой функции. Идея метода Куна-Таккера в нелинейных оптимизационных задачах с ограничениями общего вида, Активные и неактивные ограничения. Применение теории Лагранжа для активных ограничений. Необходимые условия экстремума Куна-'1аккера в нелинейных оптимизационных задачах. Выпуклые и вогнутые функции нескольких переменных, Достаточные у'слОВня экст1эемума КунаТаккера в нелинейных оптимизационных задачах, Применение теории Куна- 1'аккера в задачах поиска седловой точки функции двух ве~торных аргументов.

Метод наискорейшего спуска для задач минимизации нелинейных целевых функций. Градиентные методы минимизации нелинейных целевых функций при наличии ограничения. Метод Зойтендейка минимизации нелинейных целевых функций при наличии ограничения. Проективный градиентный метод Розена минимизации нелинейной целевой функции при наличии ограничений и его обосн~~~ние. .