Интегралы 19 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-19Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-19Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTОбозначим:аносanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-19Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеРешение №1. Получаем:Под интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:tiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 4-19аносРешениеanУсловие задачиВычислить определенный интеграл:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 5-19Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеU.ruРешение №2U.ruПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:tiGTПолучаем:анТогда получаем:осanВоспользуемся методом неопределенных коэффициентов:Задача Кузнецов Интегралы 6-19Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTосanПрибавим ко второму уравнению первое умноженное на -3:анПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачПрибавим к четвертому уравнению первое умноженное на 20:U.rutiGTТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-19Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:РешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Вычтем из третьего уравнения второе:tiGTU.ruанСкачТогда:осanВычтем из четвертого уравнения второе:Задача Кузнецов Интегралы 8-19Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:РешениеtiGTВоспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:аносПодставим:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 9-19Условие задачиВычислить определенный интеграл:Решение∫U.ru3tg 2 x − 50dx =2tgx+70− arccos 110 Сделаем замену:t = tg x ; x = arctg t ; dx = 1 dtx = − arccos ⇒ t = −3 ; x = 0 ⇒ t = 02 ;1+ t 10 Подставим:(1)3t 2 − 50 dt3t 2 − 50=∫⋅=dt=232∫2t+71+t2t+2t+7+7t−3−303t 2 − 50AMt + N=+(2t + 7) 1 + t 2 2t + 7 1 + t 2(())(tiGT0)3t − 50 = A 1 + t 2 + M 2t 2 + 7t + N (2t + 7 )t 0 − t 2 : −53 = 7 N − 2 M7M7 N + 53t1 : 0 = 7M + 2 N ⇒ N = −M =22− 49 M − 4 Mt 0 : −50 = A + 7 N− 53 =2− 106 = −53M ⇒ M = 2A = −1N = −7осant 2 : 3 = A + 2Mdt2t − 71(1) = − ∫+∫dt = − ln 2t + 722t + 7 −3 1 + t2−300ан10− 7arctg t −3 = − ln 7 − ln 10 − 7arctg 32Задача Кузнецов Интегралы 10-19Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:Решение00002tdt1+∫ 2dt − 7 ∫= − ln 7 + ln t 2 + 1 −22t +11+ t−3−3−3−3tiGTU.ruУсловие задачиРешениеСкачТогда:анВведем подстановку:осВычислить определенный интеграл:ПриПриПолучаем:anЗадача Кузнецов Интегралы 11-19Получаем:СкачЗамена:анРешениеосВычислить определенный интеграл:Получаем:anЗадача Кузнецов Интегралы 12-19Условие задачиU.rutiGTПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 13-19tiGTУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:anРешениеТак, как- знаменатель дробиан, гдеСкачТ.е. в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаосПод интегралом дифференциальный бином.- целое, то используем замену:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 14-19Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачаносanРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 15-19tiGTУсловие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.осanРешениеСкачанНайдем точки пересечения:Так как функциилюбой отрезок длинойилина отрезке.

Возьмемпериодичны (с периодом. Тогда:), то береми ее площадь можно посчитать поаносantiGTU.ruИз рисунка видно, что область симметрична относительно осиформуле:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 16-19Условие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.tiGTU.ruРешениеСкачаносanПоскольку фигура симметрична, то считаем площадь в I и IV четвертях (т.е.

дляумножим на 2:Задача Кузнецов Интегралы 17-19Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.)иРешение, определяется формулойU.ruДлина дуги кривой, заданной уравнениеманосanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-19СкачУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.Решениедля заданной кривой:tiGTНайдем производные поU.ruДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойаносanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 19-19СкачУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой, найдем:мы использовали формулу:СкачанВосantiGTПолучаем:U.ruДля кривой, заданной уравнениемТаким образом:Задача Кузнецов Интегралы 20-19Условие задачиtiGTВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.U.ruЗначит:Площадь эллипса описываемого формулой:СкачанНайдем радиуса эллипса:находится эллипс:осВ сечении данной фигуры плоскостьюanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 21-19равнаУсловие задачивращенияU.ruВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Ось.antiGTРешениеявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Выразими найдем пределы интегрирования:анчерезосПоскольку осьСкачИз условия задачи уже имеем:Теперь найдем верхний предел:Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:Задача Кузнецов Интегралы 22-19Условие задачит,км.Решение, гдеtiGTПо определению элементарная работаU.ruОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высотукм.

Масса спутника равнат, радиус Земликм. Ускорение свободного падения у2поверхности Земли положить равным 10 м/с .Н*м*м / (кг*кг)сила притяжения на высотеСкачанжосanсила притяжения на поверхности ЗемлиД.