Интегралы 18 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-18Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-18Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTanОбозначим:СкачаносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-18Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:. Получаем:U.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-18Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 5-18Условие задачиanРешениеанРешениеосВычислить неопределенный интеграл:СкачПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:Получаем:Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:U.rutiGTТогда получаем:anЗадача Кузнецов Интегралы 6-18Условие задачиРешениеосВычислить неопределенный интеграл:СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:tiGTПрибавим к третьему уравнению второе умноженное на -2:U.ruПрибавим к третьему уравнению первое умноженное на 3:anПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на -2:СкачаносВычтем из четвертого уравнения первое:U.ruТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-18Условие задачиtiGTНайти неопределенный интеграл:РешениеаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачВычтем из третьего уравнения первое:U.rutiGTосanТогда:анЗадача Кузнецов Интегралы 8-18Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:Откуда:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 9-18Условие задачианРешениеосВычислить определенный интеграл:Воспользуемся подстановкой:СкачОткуда:antiGTПодставим:U.rutiGTПодставим:осanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачанПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 10-18Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 11-18Условие задачиСкачЗамена:анРешениеосВычислить определенный интеграл:antiGTРешениеU.rutiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-18Условие задачиanВычислить определенный интеграл:СкачПолучаем:анЗамена:осРешениеU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 13-18Условие задачиРешение, откудаanПод интегралом дифференциальный биномtiGTНайти неопределенный интеграл:Так, как- целое, то используем замену:- знаменатель дроби.ос, гдеСкачПолучаем:анТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 14-18Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:осanРешениеНаходим абсциссы точек пересечения графиков функцийСкачЗамена:анВычисляем площадь:Получаем::U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 15-18Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.осanРешениеСкачанНайдем точки пересечения:Нас интересует интервалВычисляем площадь:. Тогда абсциссы точек пересечения будут:U.rutiGTanЗадача Кузнецов Интегралы 16-18Условие задачиСкачанРешениеосВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.Поскольку фигура симметрична, то считаем площадь в I и II четвертях (т.е. дляумножим на 2:)иU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 17-18Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.anРешениеосДлина дуги кривой, заданной уравнениемНайдем производную данной функции:СкачанТогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойU.rutiGTanосанЗадача Кузнецов Интегралы 18-18Условие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.tiGTU.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой:anНайдем производные поаносТогда по приведенной выше формуле имеем:Задача Кузнецов Интегралы 19-18СкачУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойU.ruДля кривой, заданной уравнением, найдем:СкачаносantiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 20-18Условие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.находится эллипс:anВ сечении данной фигуры плоскостьюtiGTU.ruРешениеПлощадь эллипса описываемого формулой:аносНайдем радиуса эллипса:равнаСкачЗадача Кузнецов Интегралы 21-18Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.tiGTU.ruРешениеявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Выразими найдем пределы интегрирования:черезanПоскольку осьТеперь найдем нижний предел:осИз условия задачи уже имеем:СкачанНайдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-18Условие задачит,км.РешениеПо определению элементарная работаtiGTОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли навысотукм. Масса спутника равнат, радиус Земликм.

Ускорение свободного2падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с ., гдеanН*м*м / (кг*кг)сила притяжения на высотеСкачДжаноссила притяжения на поверхности Земли.