Интегралы 16 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-16Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-16анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеОбозначим:. Получаем:U.ru. Получаем:tiGTВоспользуемся формулой интегрирования по частямanОбозначим:СкачаносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-16. Получаем:Условие задачиU.ruВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-16Условие задачиanВычислить определенный интеграл:аносРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-16СкачУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:U.rutiGTПолучаем:анТогда получаем:осanВоспользуемся методом неопределенных коэффициентов:Задача Кузнецов Интегралы 6-16СкачУсловие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеСкачТогда:аносantiGTU.ruРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Задача Кузнецов Интегралы 7-16Условие задачиНайти неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачаносВычтем из третьего уравнения первое:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 8-16Условие задачианРешениеосВычислить определенный интеграл:antiGTТогда:Воспользуемся универсальной подстановкой:СкачОткуда:Подставим:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 9-16Условие задачиРешениеСкачанОткуда:осВоспользуемся подстановкой:anВычислить определенный интеграл:Подставим:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 10-16Вычислить определенный интеграл:anУсловие задачиСкачаносРешениеU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 11-16СкачаносВычислить определенный интеграл:anУсловие задачиосantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 12-16Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Замена:tiGTU.ruПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 13-16Условие задачиanНайти неопределенный интеграл:РешениеосПредставим интеграл в виде дифференциального бинома:анПроизведем замену переменной:СкачПерейдем к новой переменной интегрирования:Упростим и возьмем получившийся интеграл:U.ruВернемся к исходной переменной интегрирования:Ответ:tiGTЗадача Кузнецов Интегралы 14-16Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:аносanРешениеравна:СкачИскомая площадьСделаем тригонометрическую замену переменной:откудаПрии приТогда получимU.rutiGTanУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 15-16СкачанВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.U.rutiGTanНайдем точки пересечения:Так как функции.

Возьмемили. Тогда:анна отрезке), то берем любойосотрезок длинойпериодичны (с периодомСкачИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:и ее площадь можно посчитатьU.rutiGTУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 16-16осВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачанРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 17-16Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.U.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением, определяется формулойСкачаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-16Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.U.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:осanТогда по приведенной выше формуле имеем:tiGTНайдем производные поЗадача Кузнецов Интегралы 19-16анУсловие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойДля кривой, заданной уравнением, найдем:аносantiGTU.ruПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 20-16Условие задачиСкачВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.РешениеОснование рассматриваемой области - полуэллипс, в которомприприпринадлежит промежутку,а-U.ruТо есть,Рассмотрим поверхностьОтвет:Задача Кузнецов Интегралы 21-16Условие задачиantiGTТеперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:Решениеявляется осью вращения, то обьём находится по формуле:анПосколькуосВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.СкачНайдём пределы интегрирования:Найдём объём тела, как разность обьёмов двух тел вращения:U.rutiGTОтвет:Задача Кузнецов Интегралы 22-16Условие задачит,км.Решение, гдеосПо определению элементарная работаanОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли навысотукм. Масса спутника равнат, радиус Земликм. Ускорение свободногопадения у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.Н*м*м / (кг*кг)сила притяжения на высотеСкачансила притяжения на поверхности ЗемлиДж.