Интегралы 15 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-15Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-15анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеОбозначим:.

Получаем:. Получаем:tiGTU.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-15анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-15Условие задачиВычислить определенный интеграл:. Получаем:U.rutiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-15Вычислить неопределенный интеграл:anУсловие задачиосРешениеСкачанПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:Получаем:Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:U.rutiGTТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-15Условие задачиanВычислить неопределенный интеграл:РешениеСкачаносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Прибавим к четвертому уравнению второе:СкачТогда:анU.ruосanПрибавим к четвертому уравнению третье:tiGTПрибавим к третьему уравнению первое:Задача Кузнецов Интегралы 7-15Условие задачиНайти неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осВычтем из второго уравнения первое умноженное на 6:СкачанВычтем из третьего уравнения первое умноженное на 9:Вычтем из третьего уравнения второе:Прибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 6:анСкачТогда:осU.ruantiGTВычтем из четвертого уравнения третье умноженное на 3:Задача Кузнецов Интегралы 8-15Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:РешениеtiGTВоспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:СкачаносПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-15Условие задачиВычислить определенный интеграл:РешениеU.ruВоспользуемся подстановкой:tiGTОткуда:осanПодставим:анЗадача Кузнецов Интегралы 10-15Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.rutiGTanосанЗадача Кузнецов Интегралы 11-15Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеЗамена:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 12-15Условие задачиanПолучаем:СкачЗамена:анРешениеосВычислить определенный интеграл:Получаем:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 13-15tiGTУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:anРешениеТак, как- знаменатель дробиан, гдеСкачТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:Получаем:, откудаосПод интегралом дифференциальный бином.- целое, то используем замену:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 14-15tiGTУсловие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:осanРешениеСкачВ случаеанНаходим абсциссы точек пересечения графиков функцийочевидно:Вычисляем площадь:Интегрируем по частям::U.ruПолучаем:tiGTЗамена:anПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 15-15СкачРешениеанВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.Найдем точки пересечения:U.ruИз условия задачи, интервал.tiGTТогда абсциссы точек пересечения будут:Вычисляем площадь:СкачаносanГдеЗадача Кузнецов Интегралы 16-15Условие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.tiGTU.ruРешениеanПостроим в полярной системе координат графики заданных функций.СкачаносПлощадь под кривой в полярной системе координат можно найти как интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 17-15U.ruУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеtiGTТогдаanВоспользуемся заменойСледовательноосИспользуя замену получаеманЗадача Кузнецов Интегралы 18-15Условие задачиСкачВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.РешениеВоспользуемся формулой вычисления длины дуги кривой:Для данной задачи находим:U.ru;.получаем:tiGTСогласно формуле.В процессе вычисления мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством.anЗадача Кузнецов Интегралы 19-15Условие задачиРешениеосВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.Как известно, длина дуги кривой, заданной уравнениемв полярных координатах, гдеан, вычисляется по формулеДля кривой, заданной уравнениемдлина дуги вычисляется следующим образом:Скачформуле, находим, и согласноосновным тригонометрическим тождеством,Для вычисления интеграла:U.ruВоспользуемся ввоспользуемся формулой замены переменной в определенном,.

ТогдаtiGTинтеграле. Применим универсальную тригонометрическую замену:. Пересчитаем пределы согласно замене: приполучаем. Следовательно,an; приполучаемВосвыполняется неравенствоанТак как на промежуткераскрыть модуль:сделаем еще одну замену переменной:Скачпределы согласно замене: приЗадача Кузнецов Интегралы 20-15получаем. Применяем к, то под интегралом можем. Тогда. Пересчитаем; приданную замену:получаемВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.Задача Кузнецов Интегралы 21-15осУсловие задачиantiGTРешениеU.ruУсловие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.СкачанРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 22-15U.ruУсловие задачиОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли навысотукм. Масса спутника равнат, радиус Земликм. Ускорение свободного2падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с .т,км.tiGTРешениеПо определению элементарная работа, гдеН*м*м / (кг*кг)сила притяжения на высотеСкачаносanсила притяжения на поверхности ЗемлиДж.