SLPR_030 (Случайные процессы), страница 2

Тогда нерпа слсдулоплаи Теорема 4.4 И глучае конечной „нормо»сноб цепи найдетсл ио Пень 71ланое. чию для ьссл и > 'ио нсраэлоэ)си лли. 4=1 Долсазатсльстпо. Пугть рассматрипасмап марковская пспь псразложллма и апсрллодичпа. Тогда она также возвратив и положительна. Прсдположинл, что это псвлрпо.

Тогда и силу теоремы 4.3 (л) % ~ . (о) 1 = Ош ~)л~' — ~ От р, = О. о — лс:. м о — ло.-. з=л Следовательно, сушествует возвратное состояние ло. Пусть ) — произвольное состояние. Поскольку )» л — + ), то по лемме 4.1 состояние у также возвратно. Итак, все состояния у апсриодичссколл неразложимой испи возвратпы. установим, что вге возвратные состоянлля к тому же положительиьл. Если предположит)и что все они нулевые, то тогда снова на основе теоремы 4.3 получаем, что сушествует по крайней морс одно положительное состояние. скажем (о.

Пусть ~ - какос-то другое со() (л) стояние. Поскольку ло л — + л, то найдутся в и 4 такие, ч то р( ). > О,. р(„ > О и, значит, рао ря и ргп рпа рыл Рм Поэтому пайдстси г > О такое. что дли всех достаточно больших и верно р„> с > О. По (о) ро — + —. Отсюда — > О. (о) л , , л Обозначим я; = — ', у = 1, ...,Х. При этом по тсорсмс 4.3 я; > О. )йролл) того. ьт ( ) гл 1- = )лллло — л~~ 2,— ) Р, Таким образом, аперподпческая неразложимая конечная марковская пень является эргодическои. Понятно.

что для всякои эргодпческой конечной пепи найдется число ио такое, что дли всех п, > по верно неравенство р, > О. Покажем теперь обратное. Пусть гушс(о) ствует число лго такое. что для всех и > по верно неравенство р, > О. Тогда отсюда сразу (о) следует д = 1. 23 пень нераэлояпнзоп ооэоралпни. пол»лгите,льна, д=1 пспь == эргодпчна, д= 1 1!окажем. что сУшествУкат числа гм, .... иьч такие.

что,1ли,любого 7 = 1, ..., Д7 р, — 7 г, при и — )ос, (я) 2 = 1, .... 717. С этой полью обозначим ('1. 6) Л7Х( ) = так рц ). 1<о<У т(. ) = ппп р(,). 1(г(М 11осколько И7 (я-~-1) Х (а) Р,;; — ~ Роьрь;; В=1 ('1.7) то откуда т.. ) т . Диалогично ЛХХ ( М; . 11оэтому для доказательства (4.6) (ич-7) , (и-(-7) ,(и) достаточно показать.

что Л7Մ— т; — + О при и — + ос, Д7 Пусть г = ппп; р,.77 ) О. Тогда ~р(я ). (.) ~и ~,(-о) ср(р)~ 7У (а) Х ~ (я) (я) Рь; +с~ Раоьро, 7Х --7 ' (ао) (я)) (а) (2я) ((Р,ь — и) ъ ~ Ро. + грс) Пса р(1' — ор,( ) О. Поогому (оо) (о) „7( а+ ) ) 771( ) ~р( а) ср( ) + ер(») 711( )(1 с) + ср( ) .7.7 Следовательно т. ) т,. (1 — е)+ар Э диалогично ЛХ(яо+я) . 7(Х(а)( ) + (2я) — ир277 Отсюда ЛХ(а77~-и) (Яожо) < /7(Х(Я) (Я) ! () 7 и, следовательно, 1Х( "' ) — т( "' ") < ХЛ7Х(Р) — т(" ~ (1 — ы)" — 7 О прп й — 7 сс.

7 .7 ,7 7М т' = тш р, = тт р р,ьр„,' ( †;1) . (а-';1) . Х (г) 1(((7Х " 1ф(И7 1 — — 1 777 ) т1п ~ Р (о ппп РЬ. — т 1<(<7Ч 1(1<177 Л=7 ()слп обозначить гг,; — От„, - т,.' . то (Р) Таким образом, из (1.6) следует сушествование предельного распределении. Пока>кем, что пРсДельпос РагпРсДслспис лвллетсл к томУ >ко эРгоДи гссггггм.,г(сггствитслг,по, пРи п, > нгп имеем л; > гпэ > т..' » - О. 11оэтому ку > О, 7 = 1, ..., Л. Теорема до!сазана. П О сушсствовании предельных и стапнопарных распрсдсягсний а,) Е; ' ! 7гг < 1; Е, ! к'Ро7 = 7Г>; у = 1; 2; Ь) или ьсс гг; = О, или 2,': ! и, = 1; с) сс,т ьгс >Г, = О, то сгппциоапрносо рпгпрсдс,!гния нс ггущссгпьуст; сг7н! 2 " гг; = 1, то 7г — (лг. Ггл, ...

) образует сдинстьсннос. гтпционпрнос распределение.. У(оггаэательство. По лемме Фату ,7=! 7=! Далее, х С~ Х Е вЂ” ь..) - ° -Е- (ь) ! . Ч (ь) . (ь+!) и Ро = ! ( 1пп Рь Рб < 1пп,, ~ Ры РЦ вЂ” 1шг, -Рь —— ,Г>. т. е, для лгобого у > 1 ьг Е 7ГР'< 7. (=! 11редполо>ким что длл некоторого 7о кьрг>о < сг>а' Е Тогда ;7-,7, > „)-,7-7п,. = ~-л,,~-р. 7=! ~=! 7=! -Х:л Поэтому 7Г.,Р,7 —— ,Г;, / = 1,2, Е' (=1 30 Теорема 4.5 1(успгь гнпркоьслпя цг пь со сне!аньки!,иноясссгньог! соспгоян777Ъ 7) = 11, 2, ...

) и лгагггрицсй Г>срслодггьгх ьсроягпггостсй Р = ((р,-(! таноьа, что для ьссл ! и у суи(сстьугоп! пределы 1пп„, -р;" = л,, нс эаьистцис от 7'. (ь) Тпсдп .