Типовой расчет (математический анализ), 30 вариант, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовой расчет (математический анализ), 30 вариант", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
2=1 у" =~~Гп(п-1)ах" - '=2с2+ЗЯ2ьсх+4*3лс х'+...+(и — 1)исх '+..., и 2 Используя начальные условия, найдйм значения двух коэффициентов у(0) = с, = 0; у"(о)=~, =о. Подставим ряды у,у'.у" в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем: 2с, +3*2ас х+4ЯЗ*сх'+...+(и — 1)пс„х" '+...+2с,х'+Зс хз+...+ис„х" + +...+С2Х +СЗХ' +...+С„Х +...+Х= О 2с, +бс,х+(12с„+Зс,)х'+(20с, +4с,)х'+...+((и+2)(и+1)с„,, +(и+1)с„)х" +...=0 Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему: 2с2 0 16сз +1 О, 12с„+Зс, =О, 20с, +4с, = О, тогда (п+ 2)(и+ 1) с„„+ (п+1)с„= 0 из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициентов с =с„=сз =...=с, =...=0 б 5*6 5*6*7 "' 5*6*72'...(2п2+1) Таким образом, искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд у=- — х + — х— (-1) х + ...
+ х + ..., который сходится при 6 5*6 5яб"7 5~62'7'...(2п2+1) любом значении х (согласно признаку Даламбера 1пп — "' = О) ""с Оценим погрешность. Она не должна превосходить 0,001 при х н 10, 0.751 Так как ~Я„~ < (0.75) < 0.001, то достаточно взять первые 2 члена ряда 1 2 5*6*7 1 3 ! 5 ум — Х + — Х 6 30 Задание 9 Приближенно вычислить определенный интеграл Зу (х)22х. а Для вычисления интеграла функцию Г(х) разлагают на отрезке интегрированна в степенной ряа, который интегрируют почленно.
Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближенна не должна превышать 0,0001, и оценка зтой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.
ю Решение 1 Воспользуемся разложением функции (1+ х" ) ' в ряд Маклорена 1 3 — — -1 (1+х ) ' =1-— 4 1 4 2 2 2 в 1 в 3 в х +...=1- — х +-х +... 2 8 Тогда Г1 4 в 1 ~ я Получен знакочередующийся рял Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим прнблнжйнное значение интеграла с заданной точностью ~Ь 1 11 — ОЗ3333-0.00041 = 0.3329 в тГ+х~ 3 1О 3' Задание 10 а) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность Б(о)) следующих функций (сигналов). б) Продолжить периодически функщпо (сигнал) с интервала 1О,Т] (илн [-Т~2,Т/21, см. рисунок) иа всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.
Решение а) Исходный сигнал х(т) описывается следующей формулой: О, т<О А Я(!)= — — г+А, О<т<т Т О, г>Т Спектральную плотность Б(ц) найдем с помощью прямого преобразования Фурье: я(и) = ~яяе ~мй Я(и)= ) з(г)е игвг = ~~ — т+А)е 'мйг = — — ')ге вайт+А)е ' сй= Первый интеграл берем по частям: 0=в <И3=-бг врт'=е'" вй Ч=-(етвЩп), -- — — — А) +А — ' = — -т— ' — — ', +А А(' „~"~ ~! )') 1 „-д! и! А(] — е пг 2 '()-е пт~ — — —,— ~+А — =~ — + —, +А— Т (М М )М )И Т М )М „(.-",~- "'3,~- "'))+,(2- "')) „(2-.-" -! ) б) Продолжим функцию нечестным образом, тогда а, =а„=О 22~(' А(, пл 2А2. пл 2Ае .
пл 2А Пл~ Ь„= — ) А — — г зш — й!!) = — рш — йй- —, ~та!и — га)т = — соз — 1 2Аге . пл 2А 2А 2Аг . пл — —, ~тз!и — ЙМ' = — — созпл+ — созО- —, ~Рз(п — йй =р2о час!Пам1= т'~ т о 2А 2А 2А( Т пл ~ Т г пл = — — СОЗПЛ+ — — —, -à — СОЗ вЂ” Г~ + — 2!СОЗ вЂ” й!)Г = пл пл Т ~ пл Т 12 пл Т г 2А 2А 2А) т' Т' . Пл пл пл Т пл Т 2А 2А 2А 2А = — — созпл+ — + — созпл =— пл пл пл пл Ряд Фурье имеет вид: ! . пл Дг) = 2А~) — зш — ( 2=! ПЛ Графики частичных сумм: 222 2; С" ')2А~ — ' Ь~ -, -*Я 2202 2' '(2Ь~ — ') ЗД ! ! ! -22 -! '-22 .