Типовой расчет (математический анализ), 30 вариант

Вариант 30 Задание 1 Исследовать на сходимость числовые ряды. Ьи.2 а) з~1, (е»»»з 1) соз(---) 4 - < +з» Р~ +з» Решение »Я+2 ~ч х" а) При и ог: г — О, поэтому применим формулу Маклорена е' -1 = з —, и'+ 3 „., и1 нполУчим а„=е""з -1= —,+а —, =Π— г и'+3 ~ и' ) (и ) Так что, имея в виду второй признак сравнения, достаточно исследовать на » 3/и» сходимость ряд ~~» —, = ~~! — „,, а этот ряд сходится как обобшбнный гармонический. »-»»з»-» зз следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения »'»»г заключаем, что исходный ряд ~~» (е» " — 1) сходится, »» б) Поскольку ~,'~ соз( — )~=~соя-) ~соз — соз — и|с —, а 8)~ З 8 8 последовательность ((и+3)1п"'(и+3)), начиная с достаточно большого и, монотонно стремится к о, то.согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится Задание 2 Исследовать знакочередующийся ряд ~~Г( — 1)""а„на абсолютную и условную сходимость, 1 (2п-1)зз'и Решение 1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость: 1 ..

1 Х(-1)»и =Х ; 1ппа„=1пп =О (2п-1)з(и»» (2п-1) /и ' " ' (2и — 1) /и Используем 2й признак сравнения: 1 1 1 и„= П з»г ~1 з»г (2и 1)»Я ипг и 1 1пп — »=1пп =1пп =1пп =1пп У (2и 1) Я изи пзи * "(2п-1)з/и " зи(2 1 ' 1 2 и (2- -) (2--) зтг и и 1 Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд ~~> — „,, как „„, ияо гармонический ряд Задание 3 Найти интервал сходимости степенного ряда. концах интервала сходимости.

~~! (~и+1-Щ)(х — 5)" Исследовать поведение ряда иа Решение Найдбм интервал сходнмости рада 1 ~и( ~1+ — — и ') Тогда !х — 5!<! или -1<х-5<1, 4 <х<6. Ряд сходится на интервале (4;6) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости: Ъ Прн х=4, тогда ",1' ( Я+!-4и)(-1)", так как йп ~Я+1- чи = !йп ~и( 1+ — — и ') = оо то Х-~Ю с~ю и не выполняется необходимое условие сходимостн ряда н данный ряд расходится.

При х=б, тогда ~~о (4и+1 — ~/и), аналогично предыдущему, ряд расходится. о1 Имеем интервал сходимости ряда: (4;6). Решение — — — -1 — ---1 — — — 2 (1+г) =1--к+ 2 г+ 2 ги+...+ — 1 ... — — -и+1 -- — — ... — -и и'. 2 8 16 и! Тогда Задание 4 Разложить функцию Дх) в ряд Тейлора по степеням (х-х,). Указать область сходимости полученного ряда.

Найти ~ ' (х,), если 1с =100+ ЛФ варианта. о ~/1+г' хо б) хо =-2 (х-2)(х+3) ой ' 1, 3о 5 гг 2 2 2 и о ги г +... г,Я~~4 2 8 16 и! 2-'2 = 1)ой — — ~г"ой+- ~г'А~- ~ — Ро8+.„+ ~ 2, 8,,16 и! — — — -и 4„,! 10 о 241о 20Яо ~- )~-Н-)" =х- — + — — — +... + 10 24 208 и1 4и+1 — — — - — -и 4л.г — 1<х<1 уаго1(0) =0 х' б) Рааложим данную функцию в сумму элементарных дробей ( -2)(х+3) г 6 А В -1+ — 1+ +— (х-2)(х+3) (х-2)(х+3) (х-2) (х+3) 6-х= А(х+3)+В(х-2) 4 9 х 4 9 А = — В = — — Тогда =1+ — —— 5 5 (х-2)(х+3) 5(х — 2) 5(х+3) — (1- — ) '=-- 1- — + +„,+ 9 9 1 9( — ~1 — (х+2)+(х+2) „,+ "" (х+2) г -1( 2)„( — и) 5(х+3) 5 ((х+2)+1) 5~ и! Имеем х' 1 "(х+2) 9" ..

1 "( «11 =1 — — 2, +-,'Г(-1) (х+2) =1+ — 2 ~9(-1) — — „фх+2) (х-2)(х+3) 5, 4" 5 „., 5 „.,1, 4",) -1<х<1 ~(ио1(-2) 9 1 1 14 1 рзо1 114 1 =1+-- — = — — — или ~ ( — 2) =~ — — — 130! 130! 5 5 4ио 5 5 "4цо 1, 5 5*4ио / Задание 5 Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную функционального ряда на указанном промежутке.

Ю 2 ~ч~, (п(1+ —,) 1-2,2] и1п' и сходимость Решение Исходя из неравенств х' хз 22 0 < 1п(1+ —,) « —, —, и1п' и и1п' и и1п' и Р и сходимости числового ряда ~ —,, мажорантного для данного „., и1пзи функционального, приходим к выводу о равномерной сходимости предложенного ряда. 4 Сходимость ряда ~~1 —, докажем с помощью интегрального признака „.,и1п и )пх=г,г, =!и сй — =И!,г =ос х г~(г 4~ 4 = 4 )~ — =- — = — - сходится 2 1п2 " 4ат ,х1п х Решение а) Доопределим функцию у = Дх) на промежутке (-1,0) четным образом и продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. г (х) = г"(-х) - чдтная функция, Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

! а,=2)е ~й=-2е '~ = — 2е +2е =,следовательно — '=— г,,»,, 2(е-1) а, (е-1) е 2 е 1 ач а„=21е 'созиихгй,таккак 1е созЬхах= — (Ьз(пЬх+асозЬх)+с,топрна=1и Ь = хи, получим 2е " 2 (1 и„— з з(ггиз1пггих-созиих) = — -(иижпхи-совки)-хижпО+созО 1+и и 1+ и'и' П 2 2)( ( ) ) Задание б а) Разложить функцию у = г'(х), заданную па полупериоде (0,1), в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм.

Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью покрученного равенства? б) Разложить функцию у = г"(х), заданную на полупериоде (0,1), в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда. в) Разложить функцию у = у (х) в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод ( — 1,0) функцией, равной О. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

у=с" (0„1) Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма ей ряда Фурье равна данной функции при всех х и (, 1) 2. (е-(-1)") Дх) = — +- ~Г,, сов ми. е е „., 1+л'л' - ( -(- )') - ( -(- )') , Прн х=Оимеем Я(х)=е'=1 и 1= — + — ~~~ г г созО о ~Г е е 5 1+лгал г г Е2 ас 1 га У~(х)41х —, + ~ (аг+Ь~).

Равенство Парсеваля: о 2 1 1 241 2 2 1е ~"оахса — + Га„',так как 2)е "~йас — е г"~ =е то е'-! 2(е-1)2 4 ~ 1е 1 1) ) о 2 -о о О Е' ' е2 еа е2~- !+лгиг '0 Г СОО ( — ) 7 — 1 -1-152'44415 4)~ 12 00 04 02-10 2 1,5 б) Доопределим функцию у=,г'(х) на промежутке ( — 1,0) нечйтньгм образом, а значение в т х = О: г' (х) = 0 и продолжим ей на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирнхле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности, Вычислим коэффициенты Фурье этой функции, 1 04 Ь„= 2)е 2 яп лихах, так как )е"" яп ЬхНх = — (ах(пЬх-ЬсозЬх)+с, то при а=1 и а'+Ь' о Ь = ла, получим 2е " г (1 ь.- —,,(-о — * ~ ~ = —,,~-(-о * — г )+~И~О+~ юо)= 1+и и 1+и'и'(,е 2 2ии , (елп-ипсозип)= (е-( — 1) ) е(1 +и'~') е(1 + л'и') Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма ее ряда Фурье равна данной функции при всех х и и(е-(-1) ) ~(х) = — ~,, з(пиих.

е „„, 1+л'и' Так как функция у (х) кусочно-дифференпируема на ( — 1;1) то ряд Фурье сходится в среднем на (-1;1) ' Е -(-э'5 ог а ! 4+ 1 ~ ю Ю -'36 -о о В -$О 6 и в) Разложим в ряд Фурье функцию 1е ' хн(0;1) Вычислим коэффициенты Фурье этой функции 1 3 о ао = 2 )Г'(хфх = )е "ой+ ) Ыг = — е "~ =-е '+е~ =— о -! 2Г Частота первой гармоники в = — = и Т ! Х е а„= )е "созлпхгй= —,, (ппя(ппих-сояжпх 1+ и'п' (е-(-1) ) = — '( -(ппз(пип-созгги)-ппипО+сояО) = 1+лги'!,е ) е(1+я'и ) ! Ь„= 1е "я(пипхйх = —,, ( — я(плих-ппсозлих) 1+ л'и' — — -(-я!пил-лпсояпп)+лпягпО+лпсояО =, (епп-писояпп)=, 1+я'и' 1,е (1+ г г) пп(е — (-1) ) (1+ "'> Ряд Фурье имеет вид: ,, „, - 2( -(-1)') ( -(-1)') Дх)= — +-~Г г, созпих+,, я(плих = 2е е „., 1+л'и' 1 + г г ( -1) 1" (е-(-1) ) — — + — 2 ' г г (2сояиих+пик(плих) 2е е „., 1+и'п' Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б) г Г Задание 7 Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны — = — длины !г'и Ы'и /2 12 / = 2, Заярсняйиипй На КОНцаХ и(О,Г) ч И(2,г) = О Н удОВЛЕтВОряЮщЕИ СЛЕдуЮПНМ начальным условиям: и(х, 0) = /'(х), ' = 4!(х) !/и(х,О) !// ( -х/3, 0<х<1 ,/(х) = О 4!(х) = ~ (х-2)/3,1 <х < 2 Решение Решение ищем в виде ряда < ( лщ .

ап/1. лпх (/(х,/) = ~( А„соз — + В„яп — 1з!п —, где 1=2 по условию. Ы 2'Г . л'пх Так как А„= — ),/'(х) яп — !й, а / (х) = О по условию, то решение имеет вид: 1 лиг, лпх (/(х,г) = ~„В„яп — яп —, где -! 2 2 2 ( . лп 2/ (х. лп (х-2. лп ! 2 В„= — (4!(х) я(п — хЫх = — ~ — ( — яп — хй+ ( — зш — х!/х = — — рз(п — хс/х+ )(х-2)яп — хох = 2 = — -)хяп — х!!х+ )хяп — х!й — 2)яп — Ых = 2 лп !!=- — соя — х лп 2 пп зш — х!(х = а!!! 2 лп Окончательно.

(/(х,/) — — — — яп — яп— 2 Зл' „., п" 2 2 Задание 8 Найти приближенное решение задачи Коши а(х)у'+ Ь(х)у" + с(х)у = / (х); У(О) =О; 3/(О) =О Решение задами Коши ищется в виде степенного ряда ~~1 С„х', коэффициенты а-0 которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой ~,С!х', содержащей 2 2х лп ~ 4 .

лп ~ 2х лп ~ 4 . лп ' 8 лп ~! !! !! !! ! = — — сов — х1 + —,яп — х~ + — сов — х1 — —,яп — х~ + —,соз — х Злп лп 2 1, (лп)' 2 1! лп 2 1, (лп)' 2 0 З(лп)' 2 8 4 !гп 8 8 . лп 4 лп -- — !Созлп+ ! сов — + — !Б!плп — — !$!и + ! соз — 0 3(лп)' 3(лп)' 2 3(лп)' 3(лп)' 2 3(лн)' 2 8.лп8 8 лп 8 /,, лп!! 16 . лп яп — +О+ — спали- — сов — — — ащлп-2яп — — —, яп— 3(лп) 2 3(лп)' 3(лп)' 2 3(лп)' 2 3(лп) 2 151 + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получа2ощиеся степенные ряды знакочередующиеся. Требуется„чтобы зта погрешность не превосходила 0,001 при х н 10, х,|. у'+ ху'+ у+ х = 0 х, = 0.75 Решение Ищем решение ввиде: у=2 с,х =с, +с,х+с,х +...+с„х +...,тогда 2 2 и 22 нСЗх =с2+2с2х+Зсзх +...+ис х +...