Учебно-методическое пособие (очно-заочники)

1Московский технологический университетМатематический анализ4 семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очно-заочной и заочной форм обученияИнституты РТС и ЭлектроникиМосква 20162Составители: Т.Р. Игонина, О.А. Малыгина, Н.С. ЧекалкинВведениеПособие содержит типовые задания, теоретические вопросы по курсуматематического анализа 4-го семестра. Содержание данного курса включаеттеорию функций комплексного переменного, а также вопросы, связанные сприложениями интегралов, зависящих от параметра. В пособии приведеныпримерные образцы контрольных работ, типовой образец экзаменационного(зачетного) билета, представлен список рекомендуемой литературы.Выполнение заданий, приведенных в пособии, позволит учащимсяполноценно усвоить материал курса математического анализа 4-го семестра,успешно написать контрольные работы, выполнить типовой расчет, сдатьэкзамен (зачет).Пособие предназначается для студентов очно-заочной и заочной формобучения институтов РТС и Электроники.Теоретические вопросы по курсу1.

Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная формызаписи комплексного числа. Действия с комплексными числами (сложение,умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).2. Основные элементарные функции комплексного переменного, ихсвойства. Примеры. Предел, непрерывность и дифференцируемость функциикомплексного переменного.3.

Определение аналитической функции, ее свойства. Условия КошиРимана. Примеры аналитических и неаналитических функций.4. Определение интеграла функции комплексного переменного вдолькусочно-гладкой кривой, свойства. Теоремы Коши для односвязной имногосвязной области.5. Степенной ряд, область его сходимости. Ряд Тейлора аналитическойфункции, основные разложения.

Ряд Лорана аналитической функции.Примеры разложения в ряд Лорана.6. Изолированные особые точки (и.о.т.). Классификация и.о.т. поглавной части ряда Лорана и на основе поведения функции в окрестностиособой точки. Нуль аналитической функции, его кратность. Связь полюса снулем обратной функции. Примеры.7. Вычет аналитической функции в и.о.

т. Определение вычета по рядуЛорана. Вычисление вычета в устранимой особой точке, в простом и кратномполюсе.8. Основная теорема о вычетах. Примеры вычисления контурныхинтегралов с помощью вычетов.39. Вычисление несобственных интегралов по прямой и полупрямой.Лемма Жордана.

Примеры использования леммы Жордана.10. Теорема Руше и ее применение.11. Использование теории вычетов при решении задачи Кошиоператорным методом в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений(нахождение оригинала с помощью вычетов).12. Интегралы, зависящие от параметра, их свойства. ОпределениеГамма-функции, ее свойства. Бета-функция, ее выражение через гаммафункцию. Применение гамма и бета-функций.Методические указанияДля успешного усвоения содержания курса математического анализа 4го семестра рекомендуется выполнить типовые задания, представленные внастоящем пособии.

Данные задания составляют содержание типовогорасчета.Преподаватель назначает каждому студенту группы номер варианта.Студент в соответствии с номером варианта выполняет задания из пособия вотдельной тетради. Решение каждой задачи должно быть подробным суказанием использованных теоретических положений.Выполнение типового расчета – обязательное условие допускастудента на экзамен (зачет).Приведем типовые образцы контрольных работ по курсу иэкзаменационных (зачетных) билетов.Примерный вариант контрольной работы по теме «Аналитические функции.Решение уравнений»1) Вычислить: а) (  5  5 i ) ; б) ( 3  i 3 ) .2) Решить уравнения: а) z  27 i  0 ;б) sin 2 z  2 . Ответы изобразить накомплексной плоскости.3) Проверить аналитичность следующих функций: а) f ( z )  iz  27 i  3 z ; б)f (z)  e  2i .4) Изобразить на комплексной плоскости Re( 2 z )  1 .2i10032izПримерный вариант контрольной работы по теме «Классификация и.о.т.Вычеты.

Приложения вычетов»1. Функциюf (z) 12 z  5разложить в ряд Лорана в области| z | 5 22. Указать особые точки, их тип, найти вычеты в особых точках:.47а)f ( z )  ( z  3)3 e; б)z  3ef (z) 3z2z (z3. Вычислить: а)cos 5 z  12z (zLБ)Lzdzsin z,2,dz 1)12 4)L : | z  i | 1 ,5..L : | z  2 | 34. Вычислить:1(x2 25 )( x2 1)dx.Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета1. Решить уравнение: а) z  32 i  0 ; б) sin 4 z  3 .f ( z )  | ie|.2. Установить, является ли функция аналитической:3. Указать особые точки, их тип, найти вычеты в особых точках:53 z6f (z)  (5 z  2)  ez  24. Вычислить:z2.L5.

Вычислить:cos 9 z  1z3(z2dz 4)0.x sinx2L : | z  i | 25 x 4dx..6. С помощью вычетов найти оригинал изображения:pF ( p) p4 1.7. Теоретический вопрос (из списка, приведенного выше).Замечание: по усмотрению преподавателяконтрольной работы или билета может быть изменено.количествозадачКурс математического анализа (4 семестр) базируется на материалекурсов математического анализа 1-го, 2-го и 3-го семестров (теория пределов,теория дифференцирования, теория интегрирования, теория рядов), наматериале курса алгебры, на материале курса дифференциальных уравнений.Список рекомендуемой литературы1. Аксененкова И.М., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., Шухов А.Г.

Ряды.Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения. М.: URSS, 2009.2. Бугров Я.С, Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике.М., 2001.53. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Издво физ.-мат. лит., 2002.4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., ЗаляпинВ.И.

Вся высшая математика. Том 1- 4. М.: URSS, 2005.5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 и 2. М.: Дрофа,2004.6. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Г., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборникзадач по математическому анализу. М.: Физматлит, 2003.7. Никольский С.М. Курс математического анализа.

М.: Лань, 2005.8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: АйрисПресс, 2004.9. Аксененкова И.М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., Улуханян А.Р.,Унучек С.А. Математический анализ (4 семестр). Учебно-методическоепособие. МИРЭА, 2014.10. Гущина Е.Н., Игонина Т.Р., Евсеева О.А., Кольцова Е.В., КузнецоваЕ.Ю., Малыгина О.А., Морозова Т.А., Немировская-Дутчак О.Э., НовиковаА.И., Приходько В.Ю., Руденская И.Н., Татаринцев А.В., Унучек С.А.,Фаркова Н.А., Чекалкин Н.С. Календарно-тематические планы для очнозаочного и заочного отделений факультетов РТС, Электроники,Информационных технологий. М.: МИРЭА. 2014. 64 с. // электронноеиздание.

Рег. Свидетельство № 35184.11. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Том 4.Функции комплексного переменного (теория и практика). М.: URSS, 1999.12. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.:Мир, 2009.13. Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексногопеременного. М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002.14. Эйдерман В.Я. Основы теории функций комплексного переменногои операционного исчисления.

М.: Физматлит, 2002.Интернет-ресурсы15. Евграфов М.А. Аналитические функции. http://reslib.com/book/61716. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические испециальные функции. Преобразование Лапласа. http://reslib.com/book/4056117. Киселёв В.Ю., Пяртли А.С., Калугина Т.Ф. Высшая математика.Интерактивныйкомпьютерныйучебник.http://webmath.exponenta.ru/s/vm_1_index.html6Основные типы задач по курсу математического анализа4-ый семестрЗадача №1.Представитьданноекомплексноечислотригонометрической и показательной форме.№валгебраической,№1(2 − 2)72(−√3 − 3)33((−1 + )(−3 + √3))44((1 + 3 )(2 − 25 ))105(− 7 (2 − 2√3))116( 11 (−√2 − √6))137(−√3 − )9 (1 + 17 )789(11(1 − 5√3 + )21−1 + 15−√3 − 3)15(√5 + √15 7 )1013(√3 + 3 3 )4(√17 − √51 3 )6(20 8 + 3 18 )415(10(1− 8)1+−1 + √4 8)1 + 312(1 + √3)6(1 + )214(7 4 + 5 10 )10(−7 2 − 7 3 )216(3  i3)200 (2  2i)Задача №2.Решить уравнение.

Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.№1№ + 3 = 02 + 5√2 − 7 = 073 2 + 3 − 4 = 04sin = 25cos = −36ℎ = −57ℎ = 68sin = −39cos = 210ℎ = −411 = −212ℎ = 313sin + cos = 214sin − cos = 3152ℎ + ℎ = 416z4 64 i  0Задача №3.Проверить, является ли функция ()аналитичной, используя условияКоши-Римана.№№22() = 2 + 5̅ − 7() = cos( − 1)4() = cos(̅ − 1)5() = ℎ2 + 6() = + 27() = ()2 + 5 + 38() = || + 9() = (−1)10() = sin( + 2)11() = ℎ3 − 12() = ̅ + 2 + 413() = 3 2 − 4 + 214() = ℎ + Re15() = 5 + 16() = || − 21() = 3−38Задача №4.Получить все разложения функции () в ряд Лорана по степеням( − 0 ). Если 0 – особая точка, указать тип этой особой точки и найти ().=0№0()1−1−1( + 1)2−2 2 + 2 − 4 2 ( − 2)322 2 − 5 + 4( − 2)241sin−151+22 − 162( + 2)( + 3)7−1802 + 4912 2 − + 13 − 10011−22 2 + + 2 2 ( + 2)12−1 3 + 3 2 + 2 + 1 2 ( + 1)2223 − 1− 2 − 32 − 3− 3 + 29131( − 1)21413 2 − 1( 2 − 1)152 2 − 3 + 5( + 1)( − 2)216321− 7 + 12Задача №5.Найти все особые точки функции ()и установить их тип.№13№() =31 + 42() = −2sin2411() = 2 ( − sin )() =5() =1 − cos367() =+1 4 + 1681() =() =1 + 21(1 −)3 (+ 2)21 + 29() =11 +2+21011() =sin( 3 + 1)12() =1 5 − 4 313() =sin 3 ( − 1)314() = − 1 2 ( + 1)15() =cos3( + 1) 216() =() =3 + 1( + 3)2 ( + 1)10Задача №6.Вычислить интеграл по замкнутому контуруf ( z ) dzс помощью вычетов.L№123456789101112()cosπ(2 − 1)2ℎπ( + 4)( 2 + 4)1+ 163 +82( + 2 + 5)4sin2+ 4) 2 ( 2sin− 2)2( − 1)( − 2)2cos3 − 2 − 2ℎ2( + 2 + 5) 2 (( − 1)2 ( − 4)cos2 ( + 1)|| = 1|| = 5| − 2| = 2| − 2| = 2√2| + 1 − 2| = 1|| = 1|| = 1| − 2| =12| + 1| = 2| + 1 + 2| = 1|| = 2|| =1213( − π)| − 3| = 114+1( − 1)2 ( − 3)|| = 215( − 1)2 161( +2)2 (− 3)2| − 2| =32| + 2| = 111Задача №7.bВычислить несобственный интеграл f ( x ) dxc помощью вычетов.a№()(, )12( 2 + 1)( 2 + 9)(0, +∞)2( 2 + 2)( 2 + 1)( 2 + 9)(−∞, +∞)−3+ 5 2 + 4(−∞, +∞)42 − + 2 4 + 10 2 + 9(−∞, +∞)52( 2 + 4)2(−∞, +∞)62 + 14 + 1(0, +∞)71( 2 + 9)( 2 + 1)2(−∞, +∞)81( 2 + 1)3(0, +∞)9( 2 + 1)( 2 + 9)( 2 + 16)(−∞, +∞)102( 2 + 4)3(0, +∞)112 + 5 4 + 5 2 + 6(−∞, +∞)122 + 2 4 + 7 2 + 12(−∞, +∞)3412131( 2+ 1)2 ( 2+ 16)(−∞, +∞)144 + 16 + 1(−∞, +∞)152 2 + 13 4 + 13 2 + 36(−∞, +∞)162 + 2 4 + 7 2 + 12(−∞, +∞)Замечание: по усмотрению преподавателя список типовых задач курсаможет быть расширен, в частности, путем введения задач, связанных сприменением Гамма и Бета-функций..